Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:
Demuestre que para $\alpha,\beta\geq 3$ el polinomio $f = X(X-3)(X-\alpha)(X-\beta) + 1\in\mathbb Z[X]$ es irreducible.
Es sencillo comprobar que el polinomio $f$ no tiene ninguna raíz racional. Así que la única posibilidad que queda es una descomposición en $2$ factores de grado $2$ . Aquí, no sé cómo proceder.
La factorización $$ X(X-1)(X-2)(X-3) + 1 = (X^2 - 3X + 1)^2 $$ muestra que no será posible obtener una contradicción a través de la reducción módulo de cualquier número $n$ .
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De hecho tu polinomio es reducible sólo en el caso que mencionas, es decir, los números son consecutivos. Ver math.stackexchange.com/questions/579971/ o jstor.org/stable/pdf/2970062.pdf?acceptTC=true
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@user26857: Gracias por el apunte. Entonces supongo que queda demostrar que el polinomio dado no es un cuadrado perfecto en $\mathbb Z[X]$ .
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Son $\alpha,\beta$ ¿se supone que son distintos? Sólo entonces el argumento del enlace funciona.
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El polinomio no es un cuadrado porque es negativo para $x=1$ .
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@MartinBrandenburg, no es necesario que $\alpha \neq \beta$ . Puedes adaptar la prueba en math.stackexchange.com/questions/579971/ asumiendo que $g,h$ son de grado 2.
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Creo que se pueden debilitar fácilmente las condiciones en $\alpha,\beta$ . ¡Así que ma abeja hay otro truco?!
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@MartinBrandenburg: No, no lo son. Pero dada la condición $\alpha,\beta \geq 3$ el único caso problemático es $\alpha = \beta = 3$ , lo que se excluye fácilmente mirando la reducción modulo $2$ . Por lo demás, $g$ y $h$ coinciden en al menos tres valores diferentes. En $\deg(g) = \deg(h) = 2$ Esto implica $g = h$ .
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@user225222: Esta es la versión exacta que encontré como ejercicio. Sí, estoy de acuerdo en que esta cuestión debería poder hacerse con condiciones menos restrictivas. Quizás sea posible caracterizar todos los polinomios irreducibles $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta) + 1\in\mathbb Z[x]$ con $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb Z$ ?