Calcular algunas de las expectativas que implican beta y gamma de las distribuciones de

Question

a) Deje $X \sim {\text {Beta}}(a,b)$, con densidad de $f(x) = \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}} {B (a,b)}$. Encontrar la expectativa de $X \ln X$ $\frac{1}{X+1}.$

b) Vamos a $Y \sim {\text {Gamma}}(\alpha,\beta)$, con densidad de $g(y) = {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}y^{\alpha \,-\,1}e^{-\beta y}$. Encontrar la expectativa de $Y \ln Y$ $\frac{1}{Y+1}.$

c) Suponga $X,Y$ son independientes. Encontrar$\Bbb E [\frac{1}{XY+1}]$$\Bbb E [\frac{1}{Y-XY+1}]$.

He reducido mi pregunta anterior a la de arriba mucho más simple de las preguntas. Cualquier ayuda con esta pregunta ayudará a la pregunta anterior así. Cualquier ayuda con las expectativas de los cálculos serán muy apreciados.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\Large\left.a\right)}$ \begin{align} &\bbox[13px,#ffd]{\int_{0}^{1}{x^{a - 1}\pars{1 - x}^{b - 1} \over \mrm{B}\pars{a,b}}\,x\ln\pars{x}\,\dd x} = \left.{1 \over \mrm{B}\pars{a,b}}\,\partiald{}{\nu} \int_{0}^{1}x^{a + \nu}\pars{1 - x}^{b - 1}\,\dd x\,\right\vert_{\ \nu\ =\ 0} \\[5mm] = &\ \left.{1 \over \mrm{B}\pars{a,b}}\,\partiald{\mrm{B}\pars{a + \nu + 1,b}}{\nu} \,\right\vert_{\ \nu\ =\ 0} = \left.{1 \over \mrm{B}\pars{a,b}}\,\partiald{}{\nu} {\Gamma\pars{a + \nu + 1}\Gamma\pars{b} \over \Gamma\pars{a + \nu + 1 + b}} \,\right\vert_{\ \nu\ =\ 0} \\[5mm] = &\ {\Gamma\pars{b} \over \Gamma\pars{a}\Gamma\pars{b}/\Gamma\pars{a + b}} \bracks{\Gamma\pars{1 + a}\,{H_{a} - H_{a + b} \over \Gamma\pars{1 + a + b}}} \\[5mm] = &\ {\Gamma\pars{a + b} \over \Gamma\pars{a}}\bracks{% a\,\Gamma\pars{a}\,{H_{a} - H_{a + b} \over \pars{a + b}\Gamma\pars{a + b}}} = \bbx{{a \over a + b}\pars{H_{a} - H_{a + b}}} \end{align}

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\begin{align} &\bbox[13px,#ffd]{\int_{0}^{1}{x^{a - 1}\pars{1 - x}^{b - 1} \over \mrm{B}\pars{a,b}} \,{1 \over x + 1}\,\dd x} = {1 \over \mrm{B}\pars{a,b}}\int_{0}^{1}x^{a - 1}\pars{1 - x}^{b - 1} \bracks{1 - \pars{-1}x}^{\,-1}\,\dd x \\[5mm] = &\ {1 \over \mrm{B}\pars{a,b}}\bracks{% \mrm{B}\pars{a,b}\,\mbox{}_{2}\mrm{F}_{1}\pars{1,a;a + b;-1}} = \bbx{\mbox{}_{2}\mrm{F}_{1}\pars{1,a;a + b;-1}}\label{1}\tag{1} \end{align}

\eqref{1} se evalúa como una 'Euler Escriba la expresión para la Función Hipergeométrica: Se da en en este enlace.

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$\ds{\Large\left.b\right)}$

\begin{align} &\bbox[13px,#ffd]{\int_{0}^{\infty}{\beta^{\alpha} \over \Gamma\pars{\alpha}} \,y^{\alpha - 1}\expo{-\beta y}y\ln\pars{y}\,\dd y} = {\beta^{\alpha} \over \Gamma\pars{\alpha}} \left.\partiald{}{\nu}\int_{0}^{\infty}y^{\alpha + \nu}\expo{-\beta y}\,\dd y \,\right\vert_{\ \nu\ =\ 0} \\[5mm] = &\ {\beta^{\alpha} \over \Gamma\pars{\alpha}} \partiald{}{\nu}\bracks{{1 \over \beta^{\alpha + \nu + 1}} \int_{0}^{\infty}y^{\alpha + \nu}\expo{-y}\,\dd y}_{\ \nu\ =\ 0} = {\beta^{\alpha} \over \Gamma\pars{\alpha}} \partiald{}{\nu}\bracks{{\Gamma\pars{\alpha + \nu + 1} \over \beta^{\alpha + \nu + 1}}}_{\ \nu\ =\ 0} \\[5mm] = &\ {\beta^{\alpha} \over \Gamma\pars{\alpha}}\braces{% -\beta^\pars{-1 - \alpha}\,\Gamma\pars{1 + \alpha}\bracks{\ln\pars{\beta} - H_{\alpha} + \gamma}} = \bbx{{\alpha \over \beta}\bracks{H_{\alpha} - \gamma - \ln\pars{\beta}}} \end{align}

Answer 2

¿Has probado un sistema de álgebra computacional?

La parte (a): Para $X \sim \text{Beta}(a,b)$ con pdf $f(x)$:

Entonces aquí está la salida generada por mathStatica / Mathematica para el primer problema:

... donde HarmonicNumber[n] indica el $n^\text{th}$ número armónico $H_n=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i}$, y

donde Hypergeometric2F1Regularized[a,b,c,z] denota ${_2}F{_1}(a,b;c;z) / \Gamma(c)$, e Expect es un mathStatica función (de la cual soy uno de los autores).

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Parte (b): Para $Y \sim \text{Gamma}(\alpha,\beta)$ con pdf $g(y)$:

... que buscan:

... donde EulerGamma es la constante de Euler (aprox 0.577), y:

donde ExpInteralE[$\alpha$, $\beta$ ] es la integral exponencial de la función de $\int _1^{\infty} \frac{1}{t^\alpha} e^{-\beta t} dt$

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Parte (c): Encontrar$\Bbb E [\frac{1}{XY+1}]$$\Bbb E [\frac{1}{Y-XY+1}]$.

Estas dos preguntas son esencialmente los mismos. Para ver esto, observe que si $X \sim \text{Beta}(a,b)$,$(1-X) \sim \text{Beta}(b,a)$, $\Bbb E [\frac{1}{Y-XY+1}] = \Bbb E [\frac{1}{(1-X)Y+1}]$ que es por lo tanto también de la forma $\Bbb E [\frac{1}{XY+1}]$ (sólo con el $X$ parámetros intercambiados). Tan sólo tenemos que resolver la primera parte.

Dada la independencia, la articulación pdf de $(X,Y)$, decir $h(x,y) = f(x) g(y)$:

A continuación, $\Bbb E [\frac{1}{XY+1}]$ es:

Aunque esta expresión es bastante engorroso, que parece ser la correcta, y funciona bien para no enteros, los valores de parámetro. Por ejemplo, cuando se ${a = 2.2, b = 3.3, \alpha = 4.1, \beta = 5.2}$, la expresión devuelve un valor de 0.780101 de la expectativa (lo cual es consistente con la simulación de Monte Carlo).