¿Por qué es el plano Hiperbólico $\delta$hiperbólico?

Question

En la pg. 400 del libro Métrica Espacios de No-Curvatura Positiva por Bridson y Haefliger, se menciona que:

El plano hiperbólico $\mathbf H^2=\{(a, b)\in \mathbf R^2:\ b>0\}$, (con métrica de Riemann $(dx^2+dy^2)/y^2$) $\delta$hiperbólico para algunos $\delta>0$.

(Una completa Riemann colector se dice $\delta$-hiperbólico si cada lado de un triángulo geodésico está contenido en la unión de la $\delta$-barrio de los otros dos. Si un delta existe, decimos que el colector es hiperbólico.)

Hacia la prueba de la mencionada declaración, escriben los autores

A ver que $\mathbf H^2$ es hiperbólica, tenga en cuenta que desde el área de triángulos geodésicos en $\mathbf H^2$ está delimitado por $\pi$, hay un límite en el radio de semi círculos que se puede estar inscrito en un triángulo geodésico.

Puedo ver que el área de cualquier goedesic triángulo delimitado por $\pi$. Este es inmediata, mediante la aplicación de Gauss-Bonnet fórmula y usando el hecho de que $\mathbf H^2$ tiene curvatura constante $-1$, ya que la suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo no puede exceder $3\pi$.

Pero soy incapaz de ver cómo esto nos da $\delta$-hyperbolicity de $\mathbf H^2$. Yo no sigo lo que los autores entienden por "la inscripción de un semi círculo en un triángulo geodésico."

Answer 1

La definición de $\delta$-espacio hiperbólico dice: cualquier punto en un lado de un triángulo geodésico es dentro de la distancia $\le \delta$ de algún otro lado.

Si lo anterior falla, entonces algún lado (es decir, $AB$) de algunos geodésica triángulo que contiene un punto de $P$ a gran distancia $R$ a partir de otros dos lados $BC, AC$. Dibuja la circunferencia de radio $R$ (en la métrica hiperbólica) centrado en $P$. El lado de la $AB$ se divide en partes iguales en dos mitades, es un diámetro del círculo, ya que es una geodésica que pasa por el centro. Así, la mitad del círculo dentro del triángulo. Esto implica que el triángulo tiene un área grande, una contradicción.