Dado un cierto vector de $v$ sobre la superficie de una esfera centrada en $0$, estoy tratando de encontrar otro vector $w$ tal que $w$ $v$ son colinear y $w$ está en la superficie de un elipsoide también centrada en $0$. Después de haber leído la respuesta a esta pregunta antes, he intentado normalizar $v$, se multiplica por el radio de la esfera que tiene el mismo volumen que el elipsoide (ya que la transformación que corresponde a la matriz que se conserva de volumen) y, a continuación, multiplica ese resultado por la inversión de la matriz que se lleva los puntos del elipsoide a la esfera. Esto no funcionó. Me gustaría saber por qué y qué puedo hacer para encontrar $w$.
Respuestas
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Si $v=(v_1, v_2, v_3)$) y la ecuación de su elipsoide es $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1$$ usted está buscando algunos de $\lambda > 0$ tal que $w=\lambda v$ se encuentra en el elipsoide. Así, se puede resolver para $\lambda$ en la ecuación $$\frac{(\lambda v_1)^2}{a^2} + \frac{(\lambda v_2)^2}{b^2} + \frac{(\lambda v_3)^2}{c^2} =1$$ llegar $$\lambda = \sqrt{\frac{1}{\frac{v_1^2}{a^2} + \frac{v_2^2}{b^2} + \frac{v_3^2}{c^2}}}$$
DanielV
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$$x_1{}^2 + y_1{}^2 + z_1{}^2 = r^2 \tag{T1}$$ $$\left(\frac{x_2}{A}\right)^2 + \left(\frac{y_2}{B}\right)^2 + \left(\frac{z_2}{C}\right)^2 = 1 \tag{T2}$$ $$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} \tag{T3}$$ $$\frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} \tag{T4}$$ $$\frac{z_2}{z_1} = \frac{x_2}{x_1} \tag{T5}$$
$x_1,~y_1,~z_1$ son conocidos. $x_2,~y_2,~z_2$ son desconocidos.
Para encontrar uno de los desconocidos, uso (T3) a (T5) para eliminar a los otros 2 incógnitas, al conectarlos a (T2).
$$\left(\frac{x_2}{A}\right)^2 + \left(\frac{x_2~y_1}{x_1~B}\right)^2 + \left(\frac{x_2~z_1}{x_1~C}\right)^2 = 1$$ $$\left(\frac{y_2~x_1}{y_1~A}\right)^2 + \left(\frac{y_2}{B}\right)^2 + \left(\frac{y_2~z_1}{y_1~C}\right)^2 = 1$$ $$\left(\frac{z_2~x_1}{z_1~A}\right)^2 + \left(\frac{z_2~y_1}{z_1~B}\right)^2 + \left(\frac{z_2}{C}\right)^2 = 1$$
Que es:
$$\left(\frac{1}{A}\right)^2 + \left(\frac{y_1}{x_1~B}\right)^2 + \left(\frac{z_1}{x_1~C}\right)^2 = x_2^{-2}$$ $$\left(\frac{x_1}{y_1~A}\right)^2 + \left(\frac{1}{B}\right)^2 + \left(\frac{z_1}{y_1~C}\right)^2 = y_2^{-2}$$ $$\left(\frac{x_1}{z_1~A}\right)^2 + \left(\frac{y_1}{z_1~B}\right)^2 + \left(\frac{1}{C}\right)^2 = z_2^{-2}$$
Que es:
$$x_2{}^2 = \frac{x_1{}^2}{(x_1/A)^2 + (y_1/B)^2 + (z_1/C)^2}$$ $$y_2{}^2 = \frac{y_1{}^2}{(x_1/A)^2 + (y_1/B)^2 + (z_1/C)^2}$$ $$z_2{}^2 = \frac{z_1{}^2}{(x_1/A)^2 + (y_1/B)^2 + (z_1/C)^2}$$
La restricción de la $x_1$, $y_1$, y $z_1$ mentira en un círculo de radio $r$ realidad no parece para simplificar el problema, dependiendo de su propósito, también puede ser ignorado.
