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Conjunto parcial

Considere la posibilidad de un intervalo finito $[0,d]$ donde $d$ es un número real positivo.

Deje $K$ ser un subconjunto medible de $[0,d]$

Entonces, ¿cómo puedo probar o refutar que $\int_Kx \,dx \geq \int^{m(K)}_0 x\,dx$ donde $m(\cdot)$ denota la medida de Lebesgue?

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user99914 Puntos 1

\begin{equation} \begin{split} \int_K x \,dx &=\int_{K\cap [0,m(K)]} x\,dx + \int_{K\cap [m(K), d]} x \,dx\\ &\ge \int_{K\cap [0,m(K)]} x\,dx + m(K) m(K \cap [m(K), d]) \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ &= \int_{K\cap [0,m(K)]} x\,dx + m(K) m([0, m(K)] \setminus K)\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ &\ge \int_{K\cap [0,m(K)]} x\,dx + \int_{[0, m(K)]\setminus K} x \,dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\ &= \int_0^{m(K)} x\,dx. \end{split} \end{equation}

Comentario

(1):$x\ge m(K)$$K\cap [m(K), d]$, $$ \int_{K\cap [m(K), d]} x \,dx \ge \int_{K\cap [m(K), d]} m(K) \,dx = m(K) m(K\cap [m(K), d])$$

(2) tenga en cuenta que $K \subset [0,d] = [0,m(K)] \cup [m(K), d]$, por lo que $$m(K) = m(K \cap [0, m(K)]) + m(K \cap [m(K), d])$$ Por otro lado, $$m(K) = m([0,m(K)]) = m(K\cap [0, m(K)]) + m([0,m(K)]\setminus K)$$ Estas dos igualdades implica $$m(K \cap [m(K), d]) = m([0,m(K)]\setminus K).$$

(3) Similar (1), como $x \le m(K)$$[0,m(K)]$, tenemos $$\int_{[0, m(K)]\setminus K} x \,dx \le \int_{[0, m(K)]\setminus K} m(K) \,dx = m(K) m([0,m(K)]\setminus K)$$

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