Existencia de una raíz en $k[x_1, \ldots, x_n]$

Question

Demuestra lo siguiente:

Si $k$ es un campo algebraicamente cerrado y $f(x_1, \ldots, x_n) \in k[x_1,\ldots, x_n]$ es distinto de cero, entonces existe $(a_1, \ldots, a_n)\in k^n$ s.t $f(a_1, \ldots, a_n) = 0$ . Se supone que debo demostrar esto sin el uso de ningún gran teorema y sólo a partir de principios elementales.

Pensé que tenía una prueba para ello, pero me di cuenta de que no cubría todos los casos. Entonces intenté un argumento inductivo, pero no funcionaba tan bien como esperaba.

Answer 1

La hipótesis correcta es $f$ no constante (no es suficiente con que sea distinto de cero, como se señala en el comentario de MathGems, y además es inútil porque si no no hay nada que demostrar).

Demostremos la siguiente afirmación por inducción en $n$ :

Si $f\in k[x_1,\dots, x_n]\setminus k$ existe $a=(a_1, \dots, a_n), b=(b_1, \dots, b_n)\in k^n$ tal que $f(a)=0$ y $f(b)\ne 0$ .

La declaración es clara cuando $n=1$ .

Supongamos que $n\ge 2$ y la declaración de verdad en $\le n-1$ variables. Podemos suponer $f\notin k[x_1,\cdots, x_{n-1}]$ (de lo contrario, hemos terminado). Escribe $$f=g_d(x_1,\dots, x_{n-1})x_n^d+\cdots + g_1(x_1, \dots, x_{n-1})x_n+ g_0(x_1, \dots, x_{n-1}), \quad d\ge 1, \ g_d\ne 0.$$ Dejemos que $b'\in k^{n-1}$ sea tal que $g_d(b')\ne 0$ . Entonces el polinomio $f(b',x_n)\in k[x_n]\setminus k$ tiene un cero $a_n$ y un valor no nulo de $b_n$ . Así que $a:=(b',a_n)$ , $b:=(b', b_n)$ satisfacen las propiedades deseadas.