Necesito reducir la probabilidad de la cola de una variable aleatoria no negativa. Tengo un límite inferior en su valor esperado. Soy consciente de la desigualdad de Markov que hace el trabajo cuando la variable aleatoria está limitada por encima. Desafortunadamente ese no es mi caso.
¿Existe alguna otra desigualdad que pueda serme útil a este respecto?
gracias
NR
Quieres un límite inferior de la probabilidad de $[X\gt x]$ por lo tanto un límite superior de la probabilidad del suceso $A=[X\leqslant x]$ . Como ya han explicado otros, hay pocas esperanzas de alcanzar tal límite dependiendo de $\mathrm E(X)$ lo que sería válido para toda variable aleatoria no negativa $X$ .
Sin embargo, para toda función acotada decreciente $u$ , $A=[u(X)\geqslant u(x)]$ por lo que la desigualdad de Markov da como resultado $$ \mathrm P(A)\leqslant u(x)^{-1}\mathrm E(u(X)). $$ Dos casos frecuentes son $$u(x)=\mathrm e^{-tx}$$ y $$u(x)=\frac1{1+tx}$$ para algún positivo $t$ relacionado con Laplace y Stieltjes respectivamente. En ambos casos, se puede elegir el valor del parámetro $t$ que proporciona un límite superior óptimo o casi óptimo.
El resultado es $$ \mathrm P(X\gt x)\geqslant 1-u(x)^{-1}\mathrm E(u(X)). $$ Una consecuencia sencilla es el hecho de que, para cada $s$ (y para $s=0$ siempre que $1/X$ es integrable), $$ \mathrm P(X\gt x)\geqslant \mathrm E\left(\frac{X-x}{s+X}\right). $$
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Quizá puedas dar la distribución real que te interesa.
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Para cualquier expectativa finita dada, no importa lo grande que sea, es posible construir una v.r. positiva acotada con dicha expectativa, es decir, no hay límites inferiores generales para la probabilidad de cola. El hecho de que su v.r. no esté acotada lo podemos tener en cuenta fácilmente construyendo v.r. acotadas y añadiéndoles v.r. positivas no acotadas con probabilidad de cola tan pequeña como queramos para el contraejemplo
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@cardinal : Intento demostrar que un conjunto de k variables aleatorias chi cuadrado no centrales son mayores que un umbral (tau) con alta probabilidad. He conseguido acotar a la baja el valor esperado del mínimo de las variables. Entonces, algo como la desigualdad de markov inversa me vendría bien, siempre que las variables estén acotadas.
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Por lo tanto, usted tiene $X_1, \ldots, X_k$ cada una distribuida como variable aleatoria chi-cuadrado no central (¿independiente? ¿idénticamente distribuida?) y se desea $\mathbb P(\cap_{i=1}^k \{X_i > \tau\}) > 1 - \delta$ para pequeños $\delta > 0$ ?
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@gortaur : por favor, remite mi comentario anterior a cardinal. En cuanto a acotarlo y plantear un contraejemplo, no estoy seguro de entenderlo. (No soy un matemático puro). Si estoy entendiendo correctamente, sólo quiero aclarar que no quiero un contraejemplo. Quiero tener una desigualdad que diga que la probabilidad de cola de una variable aleatoria no negativa (min. sobre chi cuadrados no centrales en mi caso) está acotada a la baja. Podría usar directamente la FCD, pero está en términos de funciones Q de Marcum, y derivar límites sencillos para ellas parece estar más allá de mi capacidad.
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@cardinal: no son iid. Pero el resto de tu afirmación se mantiene. Intenté la unión, sobre el complemento de este evento, pero se convirtió en muy desordenado gracias a (tal vez mi incapacidad para manejar) marcum Q funciones
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Sí, gracias. Se lo agradezco.