Es cierto que el espacio vectorial de $n\times n$ Las matrices hermitianas son un $n^2-$ espacio vectorial real dimensional y que se puede encontrar una base para este espacio consistente exclusivamente en matrices semidefinidas positivas (ver base para matrices hermitianas ). Mi pregunta es, si tenemos la combinación lineal $$ M=\sum_{k=1}^{n^2}x_kB_k $$ donde $B_k$ es la mencionada matriz de base semidefinida positiva, ¿cuáles son las restricciones de $x_k$ para que $M$ sigue siendo semidefinido positivo? Una condición suficiente es (creo) que todos los $x_k\geq 0$ pero no creo que sea necesario. Si $B_k$ fueran números reales, la solución a ese problema sería uno de los dos semiespacios en los que $\mathbb{R}^{n^2}$ está dividido por el hiperplano $\sum_{k=1}^{n^2}x_kB_k=0$ . ¿Podría haber una analogía con este caso, cuando $B_k$ pertenecen al espacio vectorial de las matrices hermitianas?
Muchas gracias por la respuesta. Es un paso importante hacia la respuesta más general. Por $\mathfrak{I}(B_i)$ ¿se refiere al rango (columnspace) de la matriz $B_i$ ?
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Creo que es posible elegir $B_k$ tal que la condición $x_k \geq 0$ es necesario. Sin embargo, en general, las condiciones exactas dependerán de la elección de la base.
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@AlgebraicPavel ¿es posible seleccionar dicha base?
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@AlgebraicPavel ¿Estás seguro de la dimensión? Hay que seleccionar $n$ elementos diagonales reales, y $n(n-1)/2$ elementos complejos, que se suman a $n^2$ parámetros reales. Por cierto, estoy utilizando como base la construcción de math.stackexchange.com/questions/150643/ Por lo tanto, la condición $B_iB_j=0$ no se cumple automáticamente.
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@Omnomnomnom Buen punto. No existe a menos que $n=1$ (el caso trivial). Hay como máximo $n$ matrices HPSD no nulas con esta propiedad y, bueno, $n<n^2$ si no es así :-)
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@BrysonofHeraclea No es así, por eso he eliminado el comentario.
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Si la base es ortonormal con respecto al producto interno de Hilbert Schmidt, entonces $x_k \geq 0$ es suficiente y necesario.
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@Omnomnomom Buen punto. Me pregunto si se podría aplicar la ortogonalización de Gram-Schmidt a la citada base. Entonces el problema estaría resuelto. Sin embargo, las matrices resultantes de este proceso podrían perder la propiedad de semidefinición positiva.