Si $(X,\tau)^n$ es Hausdorff, es $(X,\tau)$ también Hausdorff?

Question

Si $(X,\tau)^n$ es Hausdorff, es $(X,\tau)$ también Hausdorff?

Sé que producto de Hausdorff es espacio de Hausdorff, pero quiero saber si esta más débil conversar de verdad. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(X,\tau)$ es homeomórficos a un subespacio de $(X,\tau)^n$ mediante la asignación de $x \mapsto (x,x_0,x_0,\dots,x_0)$ fijos $x_0 \in X$ (sin tener en cuenta el caso de $X = \emptyset$, lo que es aún más fácil). Ahora uso el hecho de que los subespacios de espacios de Hausdorff son espacios de Hausdorff.

Answer 2

Considere la posibilidad de $x,y\in X$ tal que $x\neq y$. Deje $\mathbf x=(x,x,\ldots,x)$$\mathbf y=(y,y,\ldots,y)$. Desde $\mathbf x\neq \mathbf y$ $X^n$ es Hausdorff, existen subconjuntos disjuntos $A$ $B$ $X^n$ que está abierto en la topología producto, y $\mathbf x\in A$$\mathbf y\in B$. Por la definición de la topología producto, existen subconjuntos abiertos $\{U_j,V_j\}_{j=1}^n$ $X$ tal que

• $\mathbf x\in\prod_{j=1}^n U_j\subseteq A,$
• $\mathbf y\in\prod_{j=1}^n V_j\subseteq B,$
• $\left(\prod_{j=1}^n U_j\right)\bigcap\left(\prod_{j=1}^n V_j\right)=\prod_{j=1}^n(U_j\cap V_j)=\varnothing$ ($A\cap B=\varnothing$).

La tercera línea implica que $U_{j^*}\cap V_{j^*}=\varnothing$ durante al menos un $j^*\in\{1,\ldots,n\}$ (basado en el finito versión de el axioma de elección). Las dos primeras líneas y las definiciones de $\mathbf x$ $\mathbf y$ implica que $x\in U_{j^*}$$y\in V_{j^*}$.

Answer 3

Creo que esto es cierto. Para cualquiera de los dos puntos $x\neq y$$(X,\tau)$, considerar los dos puntos $$ (x,x_2,\dots,x_n)\neq(y,x_2,\dots,x_n) $$
que tienen distintos barrios, decir $U,V$. A juzgar por su notación, el producto de la topología en $(X,\tau)^n$ es implícita. Por lo que es generado por la base de la forma $W_1\times\cdots W_n$ donde $W_i$ están abiertos conjuntos de $X$. Por la definición de la base, existe una base de dos elemento $U_1\times\cdots\times U_n$ $V_1\times\cdots\times V_n$ s.t. $$ \begin{split} (x,x_2,\dots,x_n)\in U_1\times\cdots\times U_n\subset U \\ (y,x_2,\dots,x_n)\in V_1\times\cdots\times V_n\subset U \\ \end{split} $$ Desde $U,V$ son disjuntas: $$ (U_1\times\cdots\times U_n)\cap(V_1\times\cdots\times V_n)=(U_1\cap V_1)\times\cdots\times (U_n\cap V_n)=\varnothing $$ Es entonces obvio que $U_i\cap V_i\neq\varnothing$$i\geq 2$, e $U_1\cap V_1$ tiene que estar vacío. Este es el deseado distintos barrios para$x,y$$(X,\tau)$.