Límite de algunos específicos "casi Riemann" sumas

Question

Yo estoy empezando mi viaje con el cálculo, y este problema me está dando duro momento.

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{{n^2+k}}$$

He calculado tres primeros sumandos: $$\frac{1}{2}, \frac{16}{30}, \frac{117}{220}$$ Desde que yo supuse que el límite es de $$\frac{1}{2}$$. La parte más difícil, sin embargo, está demostrando.

Creo que el teorema del encaje debe ser utilizado aquí, pero me parece que no puede encontrar nada útil. (La única secuencias yo era capaz de averiguar me dan los límites de 1 y 0, así que no es algo que pueda usar)

Tal vez ustedes me puede dar algunas ideas o teoremas que pueden ser de uso aquí? Sé que este problema podría ser probablemente resuelto utilizando algunos más avanzadas técnicas de cálculo, pero no estoy familiarizado con derivadas e integrales sin embargo, y este problema está en la sección límites de problema de mi libro, así que no tengo que usar nada más avanzadas.

Answer 1

Para cada $1\leqslant k\leqslant n$, $n^2\leqslant n^2+k\leqslant n^2+n$ por lo tanto el $n$th suma $S_n$ es tal que $$ \sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n}\leqslant S_n\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}. $$ Ahora, si lo que ocurre es que el límite inferior y el límite superior de ambos convergen al mismo límite de $\ell$, a continuación, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\ell$.

Por lo tanto, ¿qué queda por hacer es mostrar que $\ell$ existe y para calcular su valor (o más bien, para comprobar que su conjetura de que $\ell=\frac12$ es de hecho correcta, que lo es).