algunas preguntas sobre ecuaciones diferenciales

Question

al resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, tenemos algún método común.

Tengo algunas preguntas sobre los métodos comunes.

por ejemplo $\dfrac{dy}{-y + 5} = dt$ por qué podemos integrar en ambos lados para obtener la ecuación de $y$ ? Más concretamente, tenemos diferentes cosas que integrar, $y$ y $t$ respectivamente, ¿por qué no podemos integrarnos en ambos lados? ¿Cuál es la razón subyacente aquí?

Además, cuando se obtiene $\,\ln |5 - y| = -t + C,\,$ por qué podemos obtener inmediatamente $\,5- y = e^{-t + C}\,$ y deshacerse del signo absoluto? No hay información sobre el rango de $y$ ¿Por qué podemos hacer eso? Gracias

Answer 1

Tu confusión proviene de la falta de conocimiento de lo que significa la notación. Cuando escribimos $$ \frac{dy}{-y+5} = dt $$ lo que queremos decir es $$ \frac{dy}{dt} \frac{1}{-y+5} = 1 $$ y luego integramos ambos lados en $t$ (recuerde $y=y(t)$ ). La razón por la que parece que estamos integrando el lado izquierdo en términos de $y$ es debido a la regla de la cadena. Que la ecuación sea separable significa que podemos escribirla como $$ f(y)dy = g(t)dt $$ lo que significa $$ \frac{dy}{dt} f(y(t)) = g(t). $$

Pero por la regla de la cadena, si $F,G$ antiderivados de $f,g$ entonces tenemos $$ \frac{d}{dt}(F(y(t)) = f(y(t))\frac{dy}{dt} $$ e integrando en $t$ da $$ F(y(t)) = G(t)+C $$ que parece que ha integrado en $y$ a la izquierda y $t$ a la derecha en la notación descuidada.

En cuanto a por qué puedes deshacerte de los valores absolutos, no puedes. Debes considerar $5-y = e^{-t+C}$ así como $y-5 = e^{-t+C}$ . Esto nos da $$ y = 5-e^C e^{-t},~~ y= 5 + e^C e^{-t} $$ como soluciones válidas. Pero hay que tener en cuenta que $e^C$ es una constante positiva arbitraria, y $-e^C$ es una constante negativa arbitraria, por lo que ambas soluciones pueden conglomerarse en la forma más corta $$ y = 5 + ce^{-t} $$ donde $c$ es una constante arbitraria no nula.

Si la pregunta original fue dada como $y' = -y+5$ , es decir, TÚ dividido por $-y+5$ entonces también hay que comprobar que la solución constante $y=5$ funciona, por lo que $y=5+ce^{-t}$ es válido para todos los $c \in \mathbb{R}$ . Si la ecuación se diera en la forma con $-y+5$ en el denominador, es decir, no has introducido la división por $-y+5$ , entonces dejamos la respuesta con $c \neq 0$ ya que la declaración no tendría sentido si $y=5$ .

Answer 2

En realidad, aquí como va, tienes: $$ \frac{1}{5-y}\frac{dy}{dt}=1, $$ y se integran ambos lados con respecto a $t$ y luego utilizar la sustitución en el lado izquierdo: $$ \int \frac{1}{5-y(t)}\frac{dy}{dt}dt=\int \frac{1}{5-y}{dy}=\int dt, $$ de la cual $$ -\ln |5-y|=t+C. $$ Después de conseguir $$ |5-y|=e^{-t-C}=C_1e^{-t}, $$ donde $C_1$ se supone que es positivo. Después de eso $$ 5-y=\pm C_1e^{-t}=C_2e^{-t}, $$ donde $C_2$ puede ser ahora arbitraria (excepto el cero, sin embargo se puede comprobar que $y=5$ es una solución de $y'=5-y$ lo que significa que $C_2$ es una constante absolutamente arbitraria).