Continuación del producto en $\sin$ serie

Question

Encontrar el valor del producto $$(\sin 1°)(\sin 3°)(\sin 5°)\ldots(\sin 89°)$$ He intentado multiplicar y dividir por $2$ y luego combinar y luego convertir en coseno, pero no funciona.

Answer 1

Observe que para cualquier número entero $N > 0$ tenemos

$$\begin{align} z^{2N} + 1 &= \prod_{k=-N}^{N-1} \left( z - e^{\frac{2k+1}{2N}\pi i} \right) = \prod_{k=0}^{N-1}\left(z - e^{\frac{2k+1}{2N}\pi i}\right)\left(z - e^{-\frac{2k+1}{2N}\pi i}\right)\\ &= \prod_{k=0}^{N-1}\left[ z^2+1 - 2z\cos\left(\frac{2k+1}{2N}\pi\right)\right] \end{align} $$ Establecer $z = 1$ encontramos $$2 = 2^N \prod_{k=0}^{N-1} \left[1 - \cos\left(\frac{2k+1}{2N}\pi\right)\right] = 2^{2N} \prod_{k=0}^{N-1} \sin^2\left(\frac{2k+1}{4N}\pi\right)\\ $$ Dado que todos los $\sin(\cdots)$ implicados son positivos, esto lleva a $$\prod_{k=0}^{N-1} \sin\left(\frac{2k+1}{4N}\pi\right) = 2^{\frac12 - N}$$ Sustituir $N = 45$ obtenemos

$$\sin(1^\circ)\sin(3^\circ)\cdots\sin(89^\circ) = \prod_{k=0}^{44}\sin\left(\frac{2k+1}{180}\pi\right) = 2^{-89/2}$$

Answer 2

$$\prod_{i=1}^{45}\sin(2i-1)^\circ=\prod_{j=1}^{45}\cos(2j-1)^\circ$$

Dejemos que $\cos45x=\cos45^\circ$

$\implies45x=360^\circ n\pm45^\circ\iff x=8^\circ n\pm1^\circ$ donde $n$ es un número entero cualquiera

Teniendo en cuenta el signo "+",

$1\le8n+1\le90\iff0\le n\le11 \ \ \ \ (1)$

$91\le8n+1\le180\iff12\le n\le22, \ \ \ \ (2)$ $n=12\implies\cos(97^\circ)=\cos(180^\circ-83^\circ)=-\cos83^\circ$ $n=22\implies\cos(177^\circ)=\cos(180^\circ-3^\circ)=-\cos3^\circ$

$181\le8n+1\le270\iff23\le n\le33, \ \ \ \ (3)$ $n=23\implies\cos(185^\circ)=\cos(180^\circ+5^\circ)=-\cos5^\circ$ $n=33\implies\cos(265^\circ)=\cos(180^\circ+85^\circ)=-\cos85^\circ$

$271\le8n+1<360\iff34\le n<45, \ \ \ \ (4)$ $n=34\implies\cos(273^\circ)=\cos(360^\circ-87^\circ)=+\cos87^\circ$ $n=44\implies\cos(353^\circ)=\cos(360^\circ-7^\circ)=+\cos7^\circ$

Hay $11+11$ valores negativos

Utilizando este el coeficiente de $\cos^nx$ en $\cos(nx),$ es $1+\binom n2+\binom n4+\cdots=(1+1)^{n-1}$ que es validado por este

$\implies\cos45x=2^{45-1}\cos^{45}x+\cdots$

Por lo tanto, las raíces $2^{n-1}\cos^{45}x+\cdots=\cos45x=\cos45^\circ$ son $(1),(2),(3),(4)$

$\implies(-1)^{22}\prod_{j=1}^{45}\cos(2j-1)^\circ=\dfrac{\dfrac1{\sqrt2}}{2^{44}}$