La prueba de que el espectro de la Dirichlet Laplaciano es discreto

Question

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ un abierto acotado conjunto. El Dirichlet laplaciano puede ser definido a través de esta cerrado semi-limitada formulario en $H^1_0(\Omega)$. El hecho de que el espectro es discreto es como lo que yo puedo decir demostrado por el hecho de que la incrustación $H_0^1(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)$ es compacto y que el espectro es discreto si y sólo si la incrustación $H_0^1(\Omega)=(D(q),\lVert\cdot\lVert_q)\rightarrow L^2(\Omega)$ es compacto. Donde $q$ es la forma asociada y $D(q)$ es la forma de dominio.

Yo de búsqueda para bastante tiempo, pero no encontrar una prueba para la segunda afirmación. Agradecería consejos sobre la prueba en sí y referencias muy mucho!

Answer 1

Sé cómo probar una parte de la afirmación. Deje $f\in L^2$ y considerar el problema $$ \left\{ \begin{array}{rl} -\Delta u=f &\mbox{in %#%#%} \\ u=0 &\mbox{in %#%#% } \end{array} \right. $$

Sabemos que para cada una de las $\Omega$ existe una única solución débil $\partial\Omega$ de la anterior problema, es decir, $f$$

Definir $u\in H_0^1$ $$\int_\Omega \nabla u\nabla v=\int_\Omega fv,\ \forall\ v\in H_0^1$ donde $T:L^2\rightarrow H_0^1$ es la solución débil. Por otra parte, se puede concluir, a partir de la caracterización de la solución débil que $Tf=u$ $u$ es auto-adjunto. Debido a $\|u\|_{H_0^1}\leq C\|f\|_2$ compacta está incrustado en $T$, usted tiene que $H_0^1$ es un uno mismo-adjoint compacta de operador. Ahora puede concluir.