¿Cómo se hace realidad el uso de las ecuaciones de campo de Einstein?

Question

Estoy experimentando con las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) y me pregunto cómo utilizarlos. A mí me parece que los más sencillos son aquellos evolución de un vacío, lo que implica que la tensión de la energía-impulso tensor $T_{mn}$ es igual a cero, porque no hay materia, ni energía para la curva el espacio-tiempo. ¿Cómo se soluciona de una métrica para esa determinada situación? Si $T_{mn}$ el todo el tensor de Einstein $G_{mn}$ es igual a cero, ¿verdad? Hace plano espacio-tiempo implica que la curvatura de Riemann tensor $R^t_{mnk}$ también igual a cero? Esto implicaría que su contracción, la curvatura de Ricci tensor $R_{mn}$, sería igual a cero, lo que implicaría también que su traza (o su contracción, el escalar de Ricci $R$) también igual a cero. ¿O la métrica igual a cero y $R^t_{mnk}$ tiene un valor?

También, dada una métrica (la que me inventan mediante la utilización de vectores de la base de mi elección), es posible encontrar el de la distribución de energía $T_{mn}$ para que la métrica?

Answer 1

En la práctica, dada la tensión de la energía tensor $T_{\mu\nu}$, podemos intentar encontrar soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein mediante teoría de perturbaciones. La idea básica es expandir alrededor de una conocida solución de $g_{\mu\nu}$ por una perturbación $h_{\mu\nu}$. En el caso de un plano de fondo,

$$\delta G_{\mu\nu} = 8\pi G \delta T_{\mu\nu} = \partial_\mu \partial_\nu h - \partial_\mu \partial_\alpha h^\alpha_\nu -\partial_\nu \partial_\alpha h^\alpha_\mu + \partial_\alpha \partial^\alpha h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \partial_\alpha \partial^\alpha h + \eta_{\mu\nu} \partial_\alpha \partial_\beta h^{\alpha \beta}.$$

En algunos casos, uno puede resolver las ecuaciones exactamente, o más generalmente, se emplean métodos numéricos. Otro enfoque alternativo cuando se enfrentan con el estrés de la energía tensor es tratar de determinar las simetrías de la métrica puede tener y, a continuación, conecte un ansatz para la métrica de rendimiento de un conjunto de ecuaciones diferenciales que pueden ser más manejable, analítica y numéricamente.

Otra alternativa es generar nuevas soluciones a partir de las viejas a través de la introducción de pseudopotentials, un método debido a Harrison, Eastbrook y Wahlquist, llamado el método de la prolongación de las estructuras.

Hay varios otros métodos, tales como aquellos que se basan en la Mentira punto de simetrías de las ecuaciones diferenciales. También hay un Backlund transformación, que se basa en la identificación de una simplificación de la ecuación diferencial cuya solución satisface una condición que implica la solución para el problema más difícil.

Estos métodos son demasiado complicadas para los aquí presentes y que requieren de un importante fondo. Que se explican en las Soluciones Exactas a las Ecuaciones de Campo de Einstein por H. Stephani et al.

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Abordar tu otra pregunta, si se le da una métrica $g_{\mu\nu}$, por supuesto, uno puede calcular el $T_{\mu\nu}$ a través de las ecuaciones de campo de Einstein, usted sólo tiene que conectarlo y tediosamente calcular todos los tensores de curvatura. Hay estrictamente hablando, probablemente, algunos de los requisitos sobre las funciones en $g_{\mu\nu}$, pero usted puede conseguir lejos con la mayoría de las cosas, incluso de las distribuciones, tales como una función delta, lo que puede llevar a un estrés energía tensor de describir un brane.

Answer 2

Pero, ¿cómo se soluciona de una métrica para esa determinada situación?

Hay muchas posibles métricas. Para soluciones de vacío tiene espacio de Minkowski como una solución. El otro es una solución, es un espacio-tiempo con una onda gravitacional que va en la $+\hat x$ dirección de una onda plana llenando todo el espacio-tiempo. El otro, es como espacio de Minkowski a nivel local, sino que es espacialmente como Pac-Man. El otro, es como espacio de Minkowski a nivel local, sino que es temporal como Pac-Man. Y tenga en cuenta que los dos Pac-Man spacetimes y el espacio-tiempo de Minkowski todos tienen las métricas que son idénticamente cero en todo lugar y tiempo. Sin embargo, son diferentes spacetimes.

Una forma de resolver la ecuación es la conjetura y el método de verificación. Hacer un colector y un tensor métrico y un estrés enwrgy tensor. El uso de la métrica tensor para calcular el tensor de Einstein en cada evento. Comprobar que es igual a la Tensión de la Energía tensor en cada evento. Para hacerlo aún mejor, se puede comprobar que la Tensión de la Energía tensor obedece a una correspondiente ecuación de evolución así.

Pero, ¿el plano espacio-tiempo implica que la curvatura de Riemann tensor $R^t_m$$_n$$_k$ también es igual a cero?

Sí. Pero no creo plana significa la misma cosa que usted puede pensar ingenuamente que significa. Por ejemplo, un plano espacio-tiempo podría ser un Pac-Man en el universo, podría tener tiempo de repetición. Podría ser incrustado en un gran colector de manera que se "ve" unflat. Por ejemplo, un cilindro 2d es plana, aunque como una superficie en 3d de la posibilidad de "look" de la curva.

¿O la métrica igual a cero y $R^t_m$$_n$$_k$ tiene un valor?

Si el tensor métrico es cero en todos los eventos, a continuación, el tensor de Riemann y el tensor de Ricci y el escalar de Ricci son cero y el tensor de Einstein es cero así.

También, dada una métrica (la que me inventan mediante la utilización de vectores de la base de mi elección), es posible encontrar el de la distribución de energía $T_m$$_n$ para que la métrica?

Dada la métrica usted puede encontrar el tensor de Riemann y el tensor de Ricci y el escalar de Ricci y así encontrar el tensor de Einstein. Sin embargo, usted no, a continuación, ser capaz de encontrar la Tensión tensor de Energía, a menos que usted también sabe que la constante cosmológica y saber que tienes una solución a la Ecuación de Einstein. Y aún así, eso sólo decir que la Tensión total de Energía del tensor. Usted no sabe que el Estrés, la Energía de la materia o el campo electromagnético o cualquier cosa. O saber si el Estrés de la Energía tensor está evolucionando correctamente.

Otra forma de utilizar la Ecuación de Einstein es numérico de la relatividad. Tiene una superficie de Cauchy y en ella tienes algunos datos iniciales y algo de Tensión-Energía y una cierta evolución de las ecuaciones de la Tensión de la Energía y, a continuación, utilizar la Ecuación de Einstein para entender cómo evolucionan las iniciales de la rebanada en una solución completa. Esto no siempre es posible. Y algunas veces la solución no es el único que se acordó en esa división. Ese es el problema de Cauchy.

Si me puse la constante Cosmológica a cero, entonces tengo que saber más sobre el estrés de la energía tensor puedo obtener?

Si usted sabe que 1) el colector y la métrica, y 2) la constante cosmológica, y 3) que su colector y métrica es una solución de la Ecuación de Einstein. Entonces sí, se puede conocer el total de Tensión-Energía tensor.