Hay 8 cuentas rojas y 32 azules. Cuántos collares (que se pueden girar) hay tales que entre dos cuentas rojas cualesquiera hay al menos 2 cuentas azules.
He reducido el problema a encontrar el conjunto de soluciones de
$$x_1+ x_2 +\cdots +x_{8} = 16$$
Donde ninguna 8-tupla es una permutación cíclica de la otra. Pero realmente no veo cómo avanzar más.
Aquí hay una solución que no aplica el Lemma de Burnside (aunque la idea de ese lema está escondida en él).
Supongamos que has encontrado todas las soluciones de $x_1+ x_2 +\cdots +x_{8} = 16$ Los escribí en una lista y dibujé el collar correspondiente a cada uno de ellos. Habría $16+8-1\choose8-1$ soluciones y fotos de collares.
Muchos collares aparecerían ocho veces en su lista. Si cada collar apareciera ocho veces, el número de collares diferentes sería fácil de calcular; sería $\frac{1}{8}\cdot{16+8-1\choose8-1}$ .
Por desgracia, no todos los collares aparecen ocho veces. Algunos collares aparecen sólo cuatro veces, otros dos, y un collar aparece exactamente una vez. Aquí hay una imagen de unas cuantas soluciones y collares (enderezados), agrupados por collares iguales.
Así que aquí tienes una idea: duplica cuidadosamente algunas de las soluciones sólo lo necesario para que tengas una lista en la que todos los collares aparezcan exactamente ocho veces.
Si un collar aparece sólo cuatro veces, enumera cada solución con ese collar dos veces. Si un collar aparece sólo dos veces, enumera cada solución para ese collar cuatro veces, e incluye la solución que da un collar ( $x_i=2$ ) ocho veces en lugar de una.
Acabarás con más de $16+8-1\choose8-1$ "soluciones". ¿Cuántas más -cómo se puede contar el número de "soluciones-más-repeticiones"?
Las soluciones que dieron collares que aparecieron sólo cuatro veces son soluciones de la forma $x_1+ x_2 +x_3+x_4+x_1+x_2+x_3+x_4 = 16$ es decir, son soluciones de $x_1+ x_2 +x_3+x_4=8$ . Sabemos que hay $8+4-1\choose4-1$ de esos. Estas soluciones deben figurar en la lista dos veces, no una, por lo que hay que añadir $8+4-1\choose4-1$ a su cuenta.
Pero, en realidad, algunas de estas soluciones daban collares que aparecían sólo dos veces, y al final necesitamos que aparezcan cuatro veces (y no dos, como hasta ahora), así que tenemos que añadir dos copias adicionales de cada solución a $x_1+x_2=4$ . Esa es otra $2\cdot{4+2-1\choose2-1}$ a la cuenta. Y finalmente, añade cuatro copias más de la solución $x_i=2$ así que tenemos ocho de esos.
El recuento final de soluciones más duplicados es
$$ \begin{align}&{16+8-1\choose8-1}+{8+4-1\choose4-1}+2\cdot{4+2-1\choose2-1}+4\\=&{23\choose7}+{10\choose3}+2\cdot{5\choose1}+4\\=&245,336. \end{align}$$
El número de collares es un octavo de esto, o $30,667$ .
Creo que la reducción del problema es correcta.
Sin tener en cuenta los grupos de rotación, diría que necesitas colocar 16 cuentas azules en 8 grupos.
Número de formas de distribuir n objetos idénticos entre r grupos
Pero esto no tiene en cuenta la simetría de rotación (no hay que olvidar la simetría de espejo si se permite la rotación).
Obviamente, en ese caso no se trata de una pregunta de instituto.
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