Deje $P(x,y)$ denotar $g(x+y) + g(x) g(y) =g(xy) + g(x) + g(y) $. Las declaraciones importantes que nos gustaría tener en cuenta son
$$ \begin{array} { l l l }
P(x,y) & : g(x+y) + g(x) g(y) =g(xy) + g(x) + g(y) & (1) \\
P(x,1) & : g(x+1) + g(x) g(1) = 2 g(x) + g(y) & (2) \\
P(x, y+1) & : g(x+y+1) + g(x) g(y+1) = g(xy+x) + g(x) +g(y+1) & (3)\\
\end{array}
$$
Con $x=y=2$, obtenemos $g(4) + g(2)^2 = g(4) + gf(2) $. Por lo tanto cualquiera de las $g(2) = 0$ o $g(2) = 2$.
Deje $g(1) = A$. Con $x=y=1$, obtenemos $g(2) + A^2 = 3A$.
Si $g(2) = 0$, $A^2 - 3A = 0$ $A=0$ o $A=3$.
Si $A=0$:
$(2)$ nos da $g(x+1) = 2g(x)$.
$(3)$ nos da $g(x+y+1) +g(x)g(y+1)= g(xy+y) + g(x)+g(y+1)$.
La aplicación de la anterior da $2g(x+y)+g(x)2g(y) = g(xy+x) + g(x) + 2g(y)$, o que $2g(x+y) + 2g(x)g(y) = g(xy+x) + g(x) + 2g(y)$.
$(1)$, combinado con el de arriba nos da $g(xy+x) = 2g(xy) + g(x) $.
Sustituto $y=1$ en la anterior identidad, obtenemos $g(x+1) = 2g(x) + g(x)$. Comparando con la primera ecuación, por lo tanto tenemos a $f(x) = 0 $.
Es fácil comprobar que $f(x) = 0$ es una solución.
Si $A=3$:
$(2)$ nos da $g(x+1) = - g(x) + 3$.
$P(x,2)$ nos da $g(x+2) = g(2x) + g(x)$.
A partir de la identidad anterior, $g(x+2) = -g(x+1) + 3 = g(x)$. Por lo tanto $g(2x) = 0$ todos los $x$. Sin embargo, con $x = \frac{1}{2}$, tenemos una contradicción. No hay ninguna solución en este caso.
Si $g(2) = 2$, $A^2 - 3A +2 = 0 $ $A= 1$ o $A=2$.
Si $A = 1$:
$P(0,1) $ nos da $g(1) + g(0) = g(0) + g(0) + g(1)$$g(0) = 0 $.
$(2)$ nos da $g(x+1) = g(x) + g(1)$.
$(3)$ nos da $g(x+y+1) + g(x) g(y+1) = g(xy+x) + g(x) + g(y+1)$. Utilizando la anterior, esto nos da la $ g(x+y) + g(x) g(y) = g(xy+x) + g(x) + g(y) $.
$(1)$ nos da $g(x+y) + g(x) g(y) = g(xy) + g(x) + g(y)$. Por lo tanto $g(xy+x) = g(xy) + g(x) $.
Ahora, para los no-cero $a, b$, vamos a $x = b$$ y = \frac{b}{a}$. Esto nos da $g(a+b) = g(a) + g(b) $. Es claro que esta ecuación también se aplica en el caso de $a$ o $b$ es igual a 0, ya que $g(0) = 0 $. Por lo tanto, tenemos $g(x+y) = g(x) + g(y) $.
Esto también da $g(xy) = g(x) g(y)$. Con estas 2 ecuaciones, la única solución es $g(x) = x$. (leve trabajar aquí, pero esta es la norma en las ecuaciones funcionales).
Si $A=2$:
$(2)$ nos da $g(x+1) +2g(x) = g(x) + g(x) + g(1)$, lo $g(x) = 2$ todos los $x$. Esto es claramente una solución.
En conclusión, sólo tenemos el 3 de soluciones de $g(x) = 0$ o $g(x) = 2$ o $g(x) = x$.