Cómo construir punto finito, cubriendo en collectionwise normal espacios

Question

De hecho, estoy buscando una referencia y lo ideal sería que si alguien sabe la respuesta) en la construcción siguiente problema:

Sea X= $\prod_{i=1,..,n} X_{i}$ ser un collectionwise normal y Hausdorff localmente convexo espacio vectorial topológico y para cada $i \in$ {1,...,n} vamos a $X_{i}$ ser sólo un Hausdorff localmente convexo espacio vectorial topológico.

Además supongamos que para cada $i \in$ {1,...,n} una superior semicontinuo con varios valores de mapa de $\phi_{i}$:X -> $P(X_{i})$, $\phi_{i}$(x) no está vacío, convexo y compacto subconjunto de $X_{i}$, para cada x$\in$X.

Dado el abierto de cobertura ($V_{x})_{x\in X}$ de X (donde cada una de las $V_{x}$ en un barrio abierto de x) y de los supuestos anteriores, puede un punto finito cubrimiento de X que está subordinado a ($V_{x})_{x\in X}$ ser construido ?

Answer 1

Parece que el siguiente.

Las familias $\phi_i$ no se utilizan en la pregunta, y la condición de "$X_i$ ser sólo un Hausdorff localmente convexo espacio vectorial topológico" es abundante. Por otra parte, voy a considerar la posibilidad de abrir un refinamiento (es decir, una cobertura que no indexados por los elementos de a $X$) de la cubierta está abierta $(V_x)_{x\in X}$, debido a que cada subordinado abra la cubierta $(U_x)_{x\in X}$ no es punto finito, incluso para $X=\mathbb R$, debido a que cada punto finito abra la cubierta de un separable espacio es contable.

Así que reformular la pregunta como "Es un collectionwise normal localmente convexo espacio vectorial topológico $X$ débilmente paracompact el espacio?" He de remarcar que, por Michael-Nagami Teorema [Eng, 5.3.3], cada collectionwise normal débilmente paracompact espacio es paracompact.

Un espacio normal $X$ es submetacompact (o $\theta$-refinable) si para cada abierto de la cubierta $\mathcal U$ $X$ existe una secuencia $\{\mathcal V_n\}$ de abrir reinements de $\mathcal U$ tal que para cada una de las $x\in X$ existe $n\in\omega$ tal que $x$ es de sólo un número finito de elementos de $\{\mathcal V_n\}$. [Gru, 1.8]. Cada regulares paracompact espacio es submetacompact, y un collectionwise espacio normal $X$ es paracompact iff $X$ es submetacompact.

Greg Kuperberg escribió en MathOverflow "me encontré un criterio general que implica que un localmente convexo espacio es paracompact. De acuerdo a la Enciclopedia de las Matemáticas, si es que Montel (lo que significa que es bombeada y el de Heine-Borel teorema es cierto para él), entonces es paracompact".

Henno Brandsma señaló que un espacio de $C p (X)$ de las funciones continuas en un Tychonov espacio de $X$ en el pointwise topología es paracompact iff es normal.

Referencias

[Esp] Ryszard Engelking. Topología General. Berlín, Heldermann, 1989.

[Gru] Gary Gruenhage, Generalizada Métrica Espacios, en K. Kunen y J. E. Vaughan, Manual de teoría de topología, Elsevier, 1984.