$G$ infinito donde todo no trivial adecuada subgrupo es máxima, mostrar $G$ es simple

Question

Necesito demostrar que si $G$ es un infinito de grupo en el que todas las personas no trivial adecuada subgrupo es máxima, $G$ es simple.

He encontrado esto: Vamos a $G$ ser no trivial de grupo con el no-trivial adecuada de los subgrupos. Demostrar que $G$ no puede ser infinita grupo. pero no dice nada acerca de maximals. Debo mostrar que no puede ser normal adecuada subgrupos, ¿verdad? Bien, si todo correcto no trivial subgrupo es máxima, significa que no puede ser otro buen uno que contiene esta y es diferente. En otras palabras: $H$ es maximal si no hay un subgrupo $K$ tal que $H\subset K$ estrictamente. No puedo ver una conexión a la normalidad de dichos subgrupos. Cual debe ser la forma de enfrentar este problema?

Answer 1

Utilice el hecho de que cualquier grupo no trivial subgrupos debe ser finito, tratar de comprobar por sí mismo si no ya lo sabe):

Si $G$ no eran simples, de una manera no trivial normal subgrupo $N$, que debe ser máxima. Por lo tanto $G/N$ no tiene subgrupos no triviales, y es, por tanto, finito. Por otro lado, el uso de la hipótesis, usted también puede mostrar que $N$ no tiene subgrupos no triviales. Esto implica que $N$ es finito.

Answer 2

Deje $G$ ser infinito, y supongamos $G$ no es simple. A continuación, vamos a $N\leq G$ ser un adecuado trivial normal subgrupo de $G$.

Si $N$ es infinito, entonces por el teorema ha enlazado, $N$ tiene un trivial adecuada subgrupo $H$. A continuación, $H$ no es una máxima que no sea trivial adecuada subgrupo de $G$.

Ahora supongamos $N$ es finito. A continuación, $G/N$ es infinito, y por lo tanto tiene un trivial adecuada subgrupo $H$. Por el teorema de la correspondencia, $H\cong M/N$ donde $N\leq M \leq H$. Desde $H$ es trivial y una adecuada subgrupo de $G/N$,$N\subsetneq M \subsetneq G$, y por lo $N$ no es un subgrupo maximal de a $G$.

Por lo tanto, si $G$ es infinito y no simple, entonces tiene una máxima que no sea trivial adecuada de los subgrupos. Contrapositively, una infinita grupo $G$ cuyo subgrupos no triviales son máximas es simple.