Supongamos que $A,B\subseteq[0,1)$ están cerrados, y que $A\cup B=[0,1)$.
Mostrar que existe un conjunto $C\in\{A,B\}$ tal que dado un $x\in[0,1)$, $C$ contiene dos puntos de $p$ $q$ tal que $|p-q|\in\{x,1-x\}$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
efalcao
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Por simplicidad de notación, tenga en cuenta que para todas las $p, x \in [0, 1)$, establecimiento $q := p + x \mod 1$ o $q := p - x \mod 1$ da $|p - q| \in \{x, 1-x\}$.
Supongamos que el resultado no es cierto. Deje $x$ ser un contraejemplo a la demanda "$C = A$ obras" y $y$ ser un contraejemplo a la demanda "$C = B$ obras".
Supongamos que existe $p \in A \cap B$. A continuación,$p + x \mod 1 \notin A$, lo $p + x \mod 1 \in B$. A continuación,$p + x + y \mod 1 \notin B$, lo $p + x + y \mod 1 \in A$. Por lo $p + y \mod 1 = (p + x + y) - x \mod 1 \notin A$.
Sin embargo, $p + y \mod 1 \notin B$ ya $p \in B$, contradiciendo $A \cup B = [0, 1)$. Por lo tanto no hay tal $p$ existe, y $A \cap B = \emptyset$. Pero luego tenemos a $[0, 1)$ como la unión de los conjuntos cerrados disjuntos $A$$B$, pero esto es imposible como $[0, 1)$ está conectado.
