¿Por qué el momento conjugado $p(x,x')=\partial_2 L(x,x')$ un elemento del espacio cotangente?

Question

Imaginemos que tenemos una partícula descrita por $x \in M$ donde $M$ es alguna variedad, entonces es muy intuitivo pensar que una velocidad es un elemento del espacio tangente a $x$ Así que $x' \in T_{x}M.$ Así, por definición del haz tangente, tenemos $(x,x') \in TM$ .

Ahora, en mecánica clásica aprendemos que el mometum conjugado $p(x,x') = \partial_2L(x,x')$ y ahora leo que este tipo es un elemento del espacio cotangente, pero no tengo ni idea de por qué.

Es decir, para estar en el espacio cotangente, hay que tomar elementos en el espacio tangente de $x$ que son velocidades como argumentos y sólo dependen linealmente de ellas. Aunque está claro que p toma velocidades como argumentos, lo cual está bien, no me queda claro en este momento por qué esto debería ocurrir linealmente. ¿Es esta una entrada adicional (física) en este punto o hay un argumento matemático por qué el momento es ahora un mapa lineal?

Answer 1

La forma 1 $p(x,x')$ es lineal en las velocidades en el siguiente sentido: siguiendo con su notación, el $i$ del formulario único es $$ p_i(x,x') = \frac{\partial L}{\partial {x'}^i}(x,x'). $$ La forma 1 $p(x,x')$ actúa linealmente sobre las velocidades $v\in T_xM$ por $$ p(x,x')(v) = p_i(x,x')v^i = \frac{\partial L}{\partial {x'}^i}(x,x')v^i. $$ En otras palabras, la dependencia lineal no viene a través de la $x'$ como usted parece creer, sino a través de la $v$ .