¿Para qué se utilizan en física las funciones de variable compleja?

Question

Siempre que alguien pregunta "¿Por qué son importantes los números complejos?", la respuesta, al menos en el contexto de la física, suele incluir cosas como la mecánica cuántica, los osciladores y los circuitos de corriente alterna. Todo esto está muy bien, pero nunca he visto a nadie hablar de funciones de una variable compleja. Las funciones complejas de variable real se utilizan con bastante frecuencia, pero aún no veo (con una pequeña excepción; véase más abajo) por qué mi universidad decidiría dedicar medio semestre a la teoría de funciones holomorfas si no hay aplicaciones en física.

No me malinterpretes; no me arrepiento de haber aprendido sobre funciones complejas. Creo que es una de las asignaturas más bonitas dentro de las matemáticas, pero mi pregunta sigue en pie. ¿Hay alguna aplicación de las funciones $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dentro de la física?

Acerca de la excepción : Si una función $f$ es holomorfa, entonces sus componentes $u,v$ son automáticamente armónicos. Esta es una forma rápida de encontrar soluciones a la ecuación de Laplace $\nabla^2 u = 0$ pero este pequeño truco no justifica tener que aprender toda la teoría.

Answer 1

El análisis complejo es algo más que una herramienta para calcular integrales difíciles. Por ejemplo:

1. En la teoría cuántica de campos, uno de los esquemas de regularización más populares se basa en la teoría de funciones complejas. En particular, se basa en el concepto de continuación analítica de funciones $f:D\to\mathbb C$ para algunos $D\subseteq \mathbb C$ . En particular, a menudo se encuentran integrales que son divergentes en cuatro dimensiones, por lo que primero se calcula la misma integral en una dimensión entera positiva arbitraria $d$ y entonces se considera esta expresión como una función de una variable compleja $d$ y la continúa analíticamente hasta una función meromorfa en el plano complejo. Esto permite luego parametrizar la divergencia que aparece en la integral en el parámetro $\epsilon = d-4$ realizar la renormalización y, a continuación, tomar $\epsilon\to 0$ . Este es un caso en el que el análisis complejo no se utiliza sólo como un truco, sino para hacer que las expresiones de la teoría cuántica perturbativa de campos estén bien definidas. El procedimiento descrito se denomina regularización dimensional .

2. En el contexto de las dos dimensiones teoría del campo conforme (CFT), los campos de la teoría pueden considerarse funciones en el plano complejo. Si abres cualquier texto de CFT, básicamente te parecerá un libro de texto de análisis complejo avanzado.

3. Mencionas la ecuación de Laplace (que aparece en muchos contextos físicos como la electrostática, el flujo de calor, el flujo de fluidos, etc.), pero aquí hay otra faceta que no has mencionado. La ecuación de Laplace es invariante bajo transformaciones conformes que a su vez son asignaciones $\mathbb C\to \mathbb C$ y la teoría de dichas funciones puede utilizarse para resolver problemas de valor límite de la ecuación de Laplace.

4. En teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas, regularización zeta puede utilizarse para dar sentido a sumas divergentes utilizando la función zeta de Riemann, que es una función de una variable compleja. Por ejemplo, algunas derivaciones del efecto Casimir utilizan la regularización zeta.

Answer 2

Todo esto está muy bien, pero nunca he visto a nadie hablar de funciones de una variable compleja.

Transformada de Laplace :

La transformada de Laplace es una ampliamente utilizado transformación integral en matemáticas con numerosas aplicaciones en física e ingeniería . Es una operador lineal de una función f(t) con argumento real t (t 0) que transforma f(t) en una función F(s) con argumento complejo s dado por la integral

$$F(s) = \mathcal L\{f(t)\}= \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt, \, s = \sigma +i\omega $$

Dado que, por lo anterior

$$\mathcal L\{\frac{d}{dt}f(t)\} = sF(s) - f(0^-)$$

et

$$\mathcal L\{\int_0^tf(\tau)d\tau\} = \frac{1}{s}F(s)$$

la transformada de Laplace de una ecuación diferencial o integral es una algebraico ecuación en el complejo variable $s$ .

Una aplicación elemental es el problema de Tautochrone.

Answer 3

La integración sobre contornos complejos también es crucial para uno de los principales métodos de obtención de aproximaciones asintóticas para una gran clase de funciones especiales y resultados teóricos, la aproximación a la fase estacionaria y el método del descenso más pronunciado .

Estos métodos son de gran ayuda para calcular integrales como $$ \int_0^\pi \cos(x\cos(\theta))\text d\theta \quad \text{when }x\gg1, $$ que son difíciles de calcular, incluso numéricamente, porque el integrando es muy oscilatorio y hay que tratar con muchas cancelaciones. La idea es expresar la integral como una integral de contorno, y luego cambiar el contorno para que el integrando se parezca a una gaussiana con una fase plana, que es fácil de integrar. Este tipo de método es la espina dorsal de la mayoría de las asintóticas de funciones especiales, por ejemplo, las de Bessel , Airy , Gamma o hipergeométrico funciones, entre otras muchas.

Este tipo de análisis es crucial para analizar directamente muchos problemas físicos, y es sin duda mi pan de cada día . Por poner algunos ejemplos:

• Permite un tratamiento muy intuitivo de las transiciones no adiabáticas para un sistema de dos niveles en presencia de una perturbación que varía de forma no exactamente adiabática, en la forma del Fórmula de Landau-Zener ( doi ).

• Es la fuerza motriz de cualquier tratamiento sencillo de la tunelización y, en particular, de la ionización por tunelización. La principal herramienta analítica y conceptual para tratar la Generación de armónicos altos por ejemplo, el aproximación de campo fuerte se construye con estas herramientas.

• El método de la fase estacionaria está detrás del paso de la teoría cuántica a la mecánica clásica en forma del principio de la fase estacionaria, como en p. ej. esta pregunta SE .

• Asimismo, desempeña un papel importante en la óptica y, en particular, en la descripción de las cáusticas.

De hecho, esta parte de la física matemática está creciendo tan rápidamente que una parte del método es una de las últimas incorporaciones a la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas (también conocido como Manual de funciones matemáticas del NIST sucesor de Abramowitz y Stegun ).

Answer 4

Te responderé desde mi propia experiencia en el curso de métodos matemáticos que se exigía a todos los físicos (y a casi todos los demás también) en mi licenciatura.

Continuación analítica de dominios de funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ permite utilizar el que, en mi opinión, es uno de los teoremas más bellos y a la vez útiles de las matemáticas: Teorema del residuo de Cauchy . Con este método a mano, la clase de integrales que puedes resolver se abre enormemente. De hecho, desde que aprendí la materia, nunca me he encontrado con una integral que, por ejemplo, Mathematica pueda resolver pero yo no. Puede que haya algunas, pero no aparecen a menudo en física. La mayoría de las integradas que he visto son analíticas en casi todas partes, así que se prestan a tales métodos.

En una visión muy simplificada del mundo, el análisis complejo del tipo de los residuos permite integrar diferenciando. Siguiendo con mi propia experiencia, el siguiente término de ese mismo curso se puede resumir como "cómo resolver EDO mediante integración", y el término siguiente era "cómo convertir EDP en EDO". Encadénenlo todo y verán lo sencillas que pueden hacer la vida de un físico estas herramientas.

Existen otros usos menos universales de las funciones en la llanura compleja. Ya se ha mencionado la conexión armonicidad/Laplace. Otro ejemplo es mapeo conformal resuelve tu ecuación diferencial en un dominio en el que sea manejable y, a continuación, traslada los resultados al dominio que se te ha dado.

Ten en cuenta que si has cursado una versión de matemáticas puras del análisis complejo, en lugar de una versión de matemáticas aplicadas (yo he cursado ambas), probablemente te centrarás en otras cosas que no son tan universalmente potentes para su aplicación a la física como lo es la destreza con los residuos.

Answer 5

Las funciones de variables complejas gozan de propiedades analíticas muy ricas de las que carecen sus homólogas reales;

Por mencionar una de estas propiedades, si una función de valor complejo es analítica en un punto dado de su dominio de definición, es analítica en todo el dominio. Esta sencilla propiedad confiere a las funciones de variable compleja una estructura analítica muy rica, propiedad de la que ciertamente no disfrutan las funciones de variable real, en las que la analiticidad en un punto no tiene conexión con la analiticidad en otro;

una aplicación de las variables complejas que resulta muy bella es el estudio de los fractales, por ejemplo, el conjunto de mandelbrot