La continuidad de la Integración de Lebesgue

Question

Deje $f$ ser integrable sobre $E$.
(i) Si $\{E_n\}$ es ascendente contables de la colección de subconjuntos medibles de $E$,$\int_{\cup E_n} f=\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n}f $.
(ii) Si $\{E_n\}$ es un descendiente contables de la colección de subconjuntos medibles de $E$,$\int_{\cap E_n} f = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} f$.

Deje $E_0=\emptyset$. A continuación, vamos a $F_n=E_n \setminus E_{n-1}$. Ahora tenemos $E=\cup E_n=\cup F_n$ $F_n$'s son distintos conjuntos medibles. Yo quería aplicar el siguiente teorema $\int_E f = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{F_n} f$. Sin embargo, estoy atascado en la incorporación de la continuidad de la medida en una prueba acerca de la continuidad de la integración.

Estoy atascado en demostrar a la parte (1) (2) se sigue de tomar complementos de las cosas de la parte (1).

Answer 1

Supongamos primero que $f \geqslant 0$. Supongamos que tenemos $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \ldots$ como en tu pregunta. Considere la posibilidad de $\chi_{E_i} f$, tenemos $$\int_E \chi_{E_i} f = \int_{E_i} f$$(when I learned this stuff, this was the definition of integrating over a subspace). It's easy to see $\chi_{E_i} f \uparrow \chi_{\copa E_i} f$, so by Monotone Convergence we deduce $$\int_{\cup E_i} f = \int_E \chi_{\cup E_i} f = \lim_i \int_E \chi_{E_i} f = \lim_i \int_{E_i} f$$ Para el caso general, aplicar este argumento, tanto en $f_+, f_-$.