Duro Integral $\frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}$

Question

Demostrar que $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\, dx \, dy \, dz = \pi^2$

Traté de sustitución, sustitución trigonométrica, y la fracción de descomposición, pero no puedo resolver este problema, sólo sé que $\frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}$ es una función par :( luego

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\, dx \, dy \, dz = $$

$$ 2 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\, dx \, dy \, dz $$

Answer 1

Usted puede utilizar coordenadas esféricas. Entonces la integral cambia a lo siguiente: $$ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\, dx dy dz\\ = \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+\rho^2)^2}\,\rho^2\sin\theta d\rho d\theta d\phi \\=2\pi.2\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+\rho^2)^2}\,\rho^2 d\rho $$ Ahora es suficiente para calcular los siguientes: $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+\rho^2)^2}\,\rho^2 d\rho. $$ que se puede encontrar por $\rho=\tan y$ y luego: $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+\rho^2)^2}\,\rho^2 d\rho=\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 y dy=\frac{\pi}{4} $$

Answer 2

Una alternativa es una exageración con un poco de teoría de la medida. Lamentablemente, no conozco los nombres de los teoremas y los objetos utilizados (no en mi idioma y no en inglés). Si alguien la tiene, por favor, edite mi respuesta como mejor le parezca.

En primer lugar, tenga en cuenta que $$\displaystyle\int \limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int \limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int \limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz=\iiint \limits_{\Bbb R^3\setminus\{0_{\Bbb R^3}\}}\dfrac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz,$$

a continuación, el cambio de uso de variables y algo que se traduce en una generalizada coordenadas polares para obtener $$\iiint \limits_{\Bbb R^3\setminus\{0_{\Bbb R^3}\}}\dfrac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}\mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz=\iint \limits_{]0,+\infty[\times S_2} \dfrac{t^2}{\left(1+(tx)^2+(ty)^2+(tz)^2\right)^2}\mathrm dt \,\mathrm d\mu_{S_2}(x,y,z).$$

Ahora, $$\displaystyle \begin{align} \iint \limits_{]0,+\infty[\times S_2} \dfrac{t^2\mathrm dt \,\mathrm d\mu_{S_2}(x,y,z)}{\left(1+(tx)^2+(ty)^2+(tz)^2\right)^2}&=\iint \limits_{]0,+\infty[\times S_2} \dfrac{t^2\mathrm dt \,\mathrm d\mu_{S_2}(x,y,z)}{\left(1+t^2(x^2+y^2+z)^2\right)^2}\\ &=\iint \limits_{]0,+\infty[\times S_2} \dfrac{t^2\mathrm dt \,\mathrm d\mu_{S_2}(x,y,z)}{\left(1+t^2\right)^2}\\ &=\underbrace{\mu _{S_2}(S_2)}_{\large 4\pi}\int \limits_{]0,+\infty[} \dfrac{t^2}{\left(1+t^2\right)^2}\mathrm dt\\ &=4\pi\cdot \dfrac \pi 4=\pi ^2\end{align}$$