Mediante una integral de contorno sobre una rama de corte para calcular $\int \limits ^\infty _0 \frac {\ln x} {x^a (x+1)} dx$

Question

Encontrar el valor de $I = \int \limits ^\infty _0 \frac {\ln x} {x^a (x+1)} dx$$a \in (0,1)$, la colocación de la rama de corte del logaritmo en el eje real positivo.

Puede utilizar el resultado de que $\int \limits ^\infty _0 \frac 1 {x^a (x+1)} dx = \frac \pi {\sin(\pi a)}$.

El uso de un ojo de la cerradura contorno de la falda alrededor de la rama de corte se puede determinar que el valor de la cerrada integral de la $\oint\frac {\ln z} {z^a (z+1)} dz$ excluyendo el eje real es de $ 2\pi i \cdot \text{Res(f,-1)} = -2\pi^2 e^{-\pi i a}$ debido a la pole en $ z = -1$.

Con esta información, necesito encontrar el valor de la integral a lo largo de la línea real.

El siguiente paso en la pregunta debería ser para dividir la integral de contorno en piezas separadas y evaluar de forma individual a deducir el valor de la pieza en el eje real, pero no he tomado ningún éxito en hacerlo.

Answer 1

SUGERENCIA:

Deje $f(a)$ ser la integral definida por

$$f(a)=\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^a(1+x)}\,dx$$

Evaluamos $f(a)$ mediante el análisis de la integral de contorno

$$I=\oint_C\frac{\log(z)}{z^a(1+z)}\,dz$$

donde $C$ es el clásico ojo de la cerradura de contorno integral. Podemos escribir

$$\int_0^\infty\frac{\log(x)}{x^a(1+x)}\,dx+\int_\infty^0\frac{\log(x)+i2\pi}{e^{i2\pi a}\,x^a(1+x)}=2\pi i\text{Res}\left(\frac{\log(z)}{z^a(1+z)},z=-1\right) \tag 1$$

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ALERTA DE SPOILER

De $(1)$, podemos escribir $$\begin{align}(1-e^{i2\pi a})\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^a(1+x)}&=2\pi i\left(e^{-i2\pi a}\int_0^\infty \frac{1}{x^a(1+x)}\,dx+\text{Res}\left(\frac{\log(z)}{z^a(1+z)},z=-1\right)\right)\\\\\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^a(1+x)}&=\frac{\pi e^{i\pi a}}{\sin(\pi a)}\left(\frac{\pi e^{-i2\pi a}}{\sin(\pi a)}+\frac{i\pi}{e^{i\pi a}}\right)\\\\&=\pi^2\cot(\pi a)\csc(\pi a)\end{align}$$