Sumat

Question

¿Cómo puedo encontrar a $\sum_ {k=0}^{\infty} \frac{k^3}{3^k}$ . He intentado como derivado,como yo lo hice en otros ejemplos,pero en este ejemplo que no funciona... Puede alguien ayudar?

Answer 1

$$k^3=k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k.$$

A continuación, por derivación,

$$s\left(\frac13\right):=\sum_{k=0}^\infty\frac1{3^k}=\frac1{1-\frac13},$$ $$s'\left(\frac13\right):=\sum_{k=0}^\infty\frac k{3^{k-1}}=\frac1{\left(1-\frac13\right)^2},$$ $$s''\left(\frac13\right):=\sum_{k=0}^\infty\frac{k(k-1)}{3^{k-2}}=\frac2{\left(1-\frac13\right)^3},$$ $$s'''\left(\frac13\right):=\sum_{k=0}^\infty\frac{k(k-1)(k-2)}{3^{k-3}}=\frac{3!}{\left(1-\frac13\right)^4},$$ y la suma es

$$\frac{3!}{3^3}\left(\frac32\right)^4+\frac{2\cdot3}{3^2}\left(\frac32\right)^3+\frac13\left(\frac32\right)^2= \frac{33}8.$$

Answer 2

Supongamos que usted ha $$s(x)=\sum x^k$$

A continuación, $$t(x)=xs'(x)=\sum kx^k$$

aplicar un par de veces más, con especial atención a los límites.

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Así que tomamos el límite inferior de la suma a ser$k=0$, de modo que $s(x)=\frac 1{1-x}$$|x|\lt 1$.

A continuación, $t(x)=xs'(x)$ da $\sum kx^k$ con límite inferior $k=1$, pero dado que el término con $k=0$ es cero, podemos tomar el límite inferior cero. Esto le da a $t(x)=\frac x{(1-x)^2}$.

Y $u(x)=xt'(x)$ sumas $k^2x^k$ en el mismo camino, con el mismo comentario en los límites con $u(x)=\frac {1+x}{(1-x)^3}$.

Ahora haga lo mismo para $v(x)=xu'(x)$.

Answer 3

Sin diferenciación formal de la serie:

$$S_0:=\sum_{k=0}^\infty\frac1{3^k}=\frac1{1-\frac13}.$$ Por el cambio del índice y tomando nota de que las sumas que se puede empezar a $0$ o $1$ indiferencia:

$$S_1:=\sum_{k=0}^\infty\frac k{3^k}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{3^{k+1}}=\frac{S_1+S_0}3,$$ $$S_2:=\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{3^k}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2+2k+1}{3^{k+1}}=\frac{S_2+2S_1+S_0}3,$$ $$S_3:=\sum_{k=0}^\infty\frac{k^3}{3^k}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k^3+3k^2+3k+1}{3^{k+1}}=\frac{S_3+3S_2+3S_1+S_0}3.$$

Este rendimientos

$$S_0=\frac32, S_1=\frac34, S_2=\frac32, S_3=\frac83.$$

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Generalizando, tenemos la simple recurrencia

$$S_n(x):=\sum_{k=0}^\infty k^nx^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)^nx^{k+1}=x\sum_{j=0}^n\binom njS_j(x),$$ o

$$S_n(x)=\frac x{1-x}\sum_{j=0}^{n-1}\binom njS_j(x).$$

Answer 4

Voy a escribir aquí una curiosidad que he encontrado en hacer este ejercicio porque me parece realmente divertido.

Vamos a probar si la serie converge:

$$\lim_{\Lambda\to +\infty} \int_0^{\Lambda}\ k^3\cdot 3^{-k}\ \text{d}k = \lim_{\Lambda\to +\infty} \left(- \frac{3^{-k}\cdot (6 + 6k\ln(3) +3k^2 \ln^2(3) + k^3\ln^3(3) )}{\ln^4(3)}\right)_1^{\Lambda}$$

sustituir y calcular el límite obtenemos

$$\lim_{\Lambda\to +\infty} \int_0^{\Lambda}\ k^3\cdot 3^{-k}\ \text{d}k = \frac{6}{\ln^4(3)} \approx 4.118 $$

La divertida hecho es que la serie no converge y su suma es

$$\sum_{k = 0}^{+\infty}\ \frac{k^3}{3^k} = \frac{33}{8} = 4.125$$

estrictamente similar a la integral anterior.

Yo no soy un experto así que me la demanda: esta es una curiosa coincidencia o es que hay algún tipo de conexión (en general)?

P. s. He obtenido de la suma del valor con Mathematica, pero es fácil de computación a través de las manos.