Deje $X,Y$ ser métrica espacios y $f:X\rightarrow Y$. Si $f^{-1}(G)$ está abierto en $X$ para cada conjunto abierto $G$$Y$, $f$ es continua.
El texto que estoy utilizando la prueba de esta proposición así:
Supongamos que $f$ es discontinua en algún punto de $a\in X$. A continuación, hay un $\epsilon >0$ tal que para cada a $\delta>0$, hay un $x\in X$ $d(x,a)<\delta$ $d(f(x),f(a))\geq \epsilon.$ de ello Se desprende que, a pesar de $a$ pertenece a la inversa de la imagen del conjunto abierto $B_{\epsilon}(f(a))$ bajo $f$, la inversa de la imagen no contiene $B_{\delta}(a)$ cualquier $\delta>0$, por lo que no es abierto.
Estoy teniendo problemas con la comprensión de cómo las $B_{\delta}(a)$ no está contenido en $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$. Si $d(x,a)<\delta$ implica $d(f(x),f(a))\geq \epsilon$.
Mis preguntas son:
1) ¿Cuál es la preimagen de $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$? Es un conjunto con un radio mayor que $\delta$ o menos de $\delta$? ¿Cómo puedo ver esto si yo fuera a sacar una foto? Esta respuesta puede aclarar los puntos 2) y 3).
2) Si $B_{\delta}(a)$ no está contenido en $f^{1}(B_{\epsilon}(f(a)))$ $B_{\delta}(a)$ es un conjunto más grande de $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$. Es esto correcto?
3) Si es así no significa esto que la $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$ mapas de puntos dentro de la $B_{\delta}(a)$?
Gracias por cualquier ayuda y comentarios!