Si $f^{-1}(G)$ está abierto en $X$ para cada conjunto abierto $G$$Y$, $f$ es continua. Pregunta en la prueba.

Question

Deje $X,Y$ ser métrica espacios y $f:X\rightarrow Y$. Si $f^{-1}(G)$ está abierto en $X$ para cada conjunto abierto $G$$Y$, $f$ es continua.

El texto que estoy utilizando la prueba de esta proposición así:

Supongamos que $f$ es discontinua en algún punto de $a\in X$. A continuación, hay un $\epsilon >0$ tal que para cada a $\delta>0$, hay un $x\in X$ $d(x,a)<\delta$ $d(f(x),f(a))\geq \epsilon.$ de ello Se desprende que, a pesar de $a$ pertenece a la inversa de la imagen del conjunto abierto $B_{\epsilon}(f(a))$ bajo $f$, la inversa de la imagen no contiene $B_{\delta}(a)$ cualquier $\delta>0$, por lo que no es abierto.

Estoy teniendo problemas con la comprensión de cómo las $B_{\delta}(a)$ no está contenido en $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$. Si $d(x,a)<\delta$ implica $d(f(x),f(a))\geq \epsilon$.

Mis preguntas son:

1) ¿Cuál es la preimagen de $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$? Es un conjunto con un radio mayor que $\delta$ o menos de $\delta$? ¿Cómo puedo ver esto si yo fuera a sacar una foto? Esta respuesta puede aclarar los puntos 2) y 3).

2) Si $B_{\delta}(a)$ no está contenido en $f^{1}(B_{\epsilon}(f(a)))$ $B_{\delta}(a)$ es un conjunto más grande de $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$. Es esto correcto?

3) Si es así no significa esto que la $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$ mapas de puntos dentro de la $B_{\delta}(a)$?

Gracias por cualquier ayuda y comentarios!

Answer 1

1) $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(a)))$ es el conjunto $\{x\in X:|f(x)-f(a)|<\epsilon\}$. Es difícil encontrarse con una imagen de este, debido a que el conjunto podría ser un poco salvaje. No tiene que ser una bola de aunque. En el caso de que $f$ es continua en este juego será abierto y por lo tanto va a ser la unión de los bloques abiertos (usted podría tener una base para la topología). Un ejemplo que muestra que el conjunto no tiene que ser una bola de considerar el mapa de $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ través de: $f(x)=\sin(x)$. Considerar el intervalo abierto $(-1/2,1/2)=B_{1/2}(f(0))$.

La preimagen de esta será: $(-\pi/6+2n\pi,\pi/6+2n\pi),(5\pi/6+2n\pi,7\pi/6+2n\pi)$. Esta es una unión de un montón de intervalo abierto, por lo que su pregunta "Es un conjunto con un radio mayor que $\delta$" en realidad no es aplicable, ya que de nuevo, la preimagen no tiene que ser un pelota.

2) no es mayor. Sólo que no figuran. Un ejemplo que muestre que esta vez es por arriba, $\epsilon=1/2$, e $a=0$, y deje $\delta=\pi/2$. A continuación, $B_\delta(0)$ no está contenido en $f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))$, pero no la contienen.

3)Está por encima de los de arriba?

Answer 2

El $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad, usted debe saber. Es de la forma $f$ es continua $\iff (\forall A, \exists B : C \implies D)$. Por lo $f$ no es continua $\iff \neg (\forall A, \exists B : C \implies D)$. Pero $$ \neg (\forall Un, \existe B : C \implica D) \\ = \existe Un : \forall B, C \nRightarrow D $$ Pero es más significativo llegan a las mismas conclusiones en el contexto de la discusión. $C \nRightarrow D$ equivale a $x\in B_\delta \nRightarrow f(x) \in B_\epsilon$ que es lógicamente equivalente a dos $\exists x\in B_\delta$ tal que $f(x) \notin B_\epsilon$.

Pero la última parte es verdadera si y sólo si $B_\delta \nsubseteq f^{-1}(B_\epsilon)$. Demostrar que.

La inversa de la imagen no es necesariamente "circular" en forma, por lo que no necesariamente tiene un círculo de un radio de por sí.

Una vez que hayas probado la declaración, usted obtendrá una imagen de lo que la continuidad es. Cada imagen inversa de un conjunto abierto de un mapa continuo $f$ es abierto lo que significa que contiene una bola abierta en torno a cada uno de sus puntos (cuando estamos en un espacio métrico, de tal manera que no hay una definición de abrir la pelota).