Pegando funciones en una subvariedad cerrada

Question

Estoy tratando de conseguir una intuición de lo que sheafification. Me encontré con un pasaje de Perrin de la geometría algebraica libro sobre cerrado subvariedades.

Si dice que si X es una variedad algebraica y y es una subvariedad cerrada, podemos heredar una gavilla en Y a partir de X. sugiere Que lo más natural sería definir:

$O'(V) := \{ f : V \rightarrow K | \text{there is an open } U \in X \text{ such that } U \cap Y = V \text{ and } g|_V = f \text{ for some } g \in O_U \}$

Y, a continuación, se pasa a afirmar que esto no es normalmente una gavilla, sino simplemente un presheaf, y que lo correcto es sheafify.

Yo estaba tratando de justificar esta última línea, encontrar un contraejemplo para el encolado de axioma. Esto es lo que se me ocurrió:

Deje $X = \mathbb{A}^2$, vamos a $Y = \mathbb{V}(xy)$.

A continuación, vamos a $U_1 = D(x)$$U_2 = D(y)$, lo que forma una cubierta de abrir el subconjunto $Y - {(0,0)}$$Y$. Definir $f_1 = 0$$f_2 = 1$, que son elementos de $O'(U_1)$ $O'(U_2)$ respectivamente. Ellos no tienen la superposición, ya que sus aspirantes a la intersección de origen ha sido dejado de lado. Pero al unirlos, se parecen a ejecutar en problemas cerca del origen. (Informalmente, el polinomio del valor parece acercarse tanto $0$ $1$ como se enfoque el origen. Menos informalmente, la densidad de este conjunto abierto en $Y$ debe permitirle ampliar el polinomio para el origen de dos maneras distintas).

Mi pregunta es, simplemente, es mi análisis anterior válido? Me siento como se me puede haber pasado por alto algunas hipótesis en algún lugar.

Si es válido, entonces, ¿qué función hacen que usted obtiene al unir estas dos funciones?

Si he cometido un error en algún lugar, podría obtener alguna orientación hacia una verdadera contra-ejemplo?

Answer 1

Considere la posibilidad de $X=\mathbb P^2=\mathbb P^2_{x:y:z}$ , el plano proyectivo sobre algunos algebraicamente cerrado campo de $k$, e $Y=Y_0\cup Y_1\subset X$ donde $Y_0$ es la línea de $x=0$ $Y_1$ es el punto de $Y_1=\{(0:1:0)\}$.
La variedad $Y=Y_0\sqcup Y_1$ es distinto de la unión de su abierta subconjuntos $Y_0, Y_1$ y tenemos $f_0=0\in \mathcal O'(Y_0)$$f_1=1\in \mathcal O'(Y_1)$.
El encolado condición es, sin duda vacuously satisfecho, pero sin embargo no es $f\in \mathcal O'(Y)$$f\vert Y_i=f_i$.
De hecho, te voy a mostrar a continuación que cada barrio de $U$ de $Y$ ( $Y\subset U\subset \mathbb P^2$) es de la forma $\mathbb P^2\setminus F$ $F$ finito, por lo que el $\mathcal O(U)=\mathcal O(\mathbb P^2)=k$ por Hartogs del teorema (o algebraicamente por la normalidad de $\mathbb P^2$) y por lo tanto $\mathcal O'(Y)=k$.
Pero, ¿por qué es $U$ de los reclamos de forma?
Debido a que la complementan $Z=\mathbb P^2\setminus U$ $U$ está incluido en $\mathbb P^2\setminus Y_0\cong \mathbb A^2$ y por lo tanto no puede contener una curva cerrada $C\subset \mathbb P^2$, por lo que este complemento sólo consiste en un conjunto finito de puntos: $Z=F=\{p_1,\dots,p_r\}$.

La de arriba es una pequeña modificación (he evitado el uso del teorema de Bézout) de Perrin hermoso ejemplo en su libro, página 46.

Answer 2

EDIT: Incorrecto

Su análisis es correcto. Dejando $U = U_1 \cup U_2$, sí tenemos una función regular en $U$ $0$ $U_1$ $1$ $U_2$ (es localmente racional en $U$). Es evidente que no regulares de la función en $\mathbb{A}^2 \supseteq Y$ que restringe a nuestra "extraño a la función". Sin embargo, si nos sheafify el ingenuo presheaf dicha sección está permitido