Bayesiano y la frecuencia de la cola de la estimación.

Question

La cola de probabilidad puede ser estimado a través de dos métodos:

1. En el método Bayesiano: $$P_B(X>a)=\int^{\infty}_{-\infty}\pi(\theta|x)[1-F(a|\theta)]d\theta$$
2. Plug-In de frecuencia método: $$P_F(X>a)=1-F(a|\hat{\theta})$$ donde $\hat{\theta}$ es el MLE de $\theta$.

Los resultados numéricos muestran que siempre es $$P_B \geq P_F$$ no importa cuál sea la distribución.

Cualquier idea o cualquier recursos relacionados con este tema para explicar por qué es que?

Muchas gracias~

Answer 1

Digamos que estábamos tratando de estimar $\theta$ más que el$1-F(a\mid \theta)$, Entonces la relación entre estas dos cantidades ya que depende de una serie de factores. Primero, hay la previa, lo que podría suponer una importante desviación en cualquier dirección. Digamos que usted está usando un plano previo, de modo que el máximo de su posterior es el mismo que el de máxima verosimilitud. Ahora hay algo más de que preocuparse. El plug-in va a ser el modo de su distribución posterior, mientras que el Bayesiano va a ser la media. Cómo estos se relacionan depende de la asimetría y tal (tenga en cuenta que el modo de una exponencial es siempre cero, independientemente de su media). Así que vamos a simplificar más y decir $\pi(\theta\mid x)$ es simétrica (tal vez es una muestra de gran tamaño por lo que es casi de Gauss). Bien, ahora que la línea de arriba.

Pero ahora dicen que cambiar a la estimación de $1-F(a\mid \theta).$ queremos saber la media de esta función de $\theta$ se refiere a la función con la media conectado. Esto depende básicamente de la convexidad de la función. Si la función es convexa, la desigualdad de Jensen indica que la media de la función es mayor que la función de la media. Si es cóncava, es todo lo contrario. Así que realmente depende de cómo $1-F(a\mid \theta)$ está en forma. Si, por ejemplo, $\theta$ es un parámetro de localización para un normal, a continuación, $1-F(a\mid\theta)$ será convexa para $\theta<a$ y cóncava para $\theta>a.$ más un cajón de sastre.

Siendo que todos estos factores pueden empujar a la diferencia de cualquier manera, no le puedo decir sin obtener más información acerca de su situación específica de por qué la versión Bayesiana es mayor. Mi mejor conjetura es tal vez usted está tomando $a$ grandes, y sus valores típicos de $\theta$ (que es un parámetro de localización) son más pequeños que los que lo $1-F(a\mid \theta)$ es convexa hacia allí. Pero yo no sé ni si $\theta$ es un parámetro de localización para usted, así que sólo estoy adivinando.