¿Modelo más sencillo de caos con un hamiltoniano suave independiente del tiempo y una topología trivial?

Question

¿Cuál es el modelo más sencillo de caos gobernado por un hamiltoniano suave e independiente del tiempo en un espacio de fases con topología trivial?

Sabemos que...

• Con una topología trivial, el número mínimo de dimensión para exhibir el caos con ODEs de primer orden es de tres (por ejemplo, el Sistema Lorentz ), pero estos no son, por supuesto, hamiltonianos.

• De hecho, los sistemas hamiltonianos independientes del tiempo de dos dimensiones del espacio de fase (una variable de configuración) no pueden ser caóticos porque las trayectorias siguen las superficies de energía fija que hoja de cálculo el espacio de fase. Por lo tanto, necesitamos cuatro dimensiones del espacio de fase (dos variables de configuración).

• Existe el tiempo dependiente ejemplos de caos hamiltoniano en el espacio de fase bidimensional, por ejemplo, el pateado-top .

• Existen mapas caóticos no suaves en tiempo discreto en dos dimensiones que preservan el área, por ejemplo, Mapa del panadero .

• El billar de Hadamard es un sistema hamiltoniano caótico e independiente del tiempo en un espacio de fases de cuatro dimensiones. Sin embargo, tiene no -trivial (un donut de dos agujeros), exhibiendo el caos a causa de la curvatura negativa constante.

El doble péndulo con masas iguales y longitudes de brazo iguales tiene el Hamiltoniano

$$H(\theta_1,p_1,\theta_2,p_2)= \frac{1}{6} m l^2 \left ( {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) - \frac{1}{2} m g l \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).$$

donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son los ángulos del brazo superior e inferior con respecto a la dirección vertical, y $p_1$ y $p_2$ son los respectivos momentos conjugados. Esto satisface todos nuestros requisitos específicos, excepto que no es muy sencillo.

(Tenga en cuenta que sólo estoy ampliando esta pregunta en /r/física que carecía de la especialización a espacios de fase topológicamente triviales).

Answer 1

1. Un sistema autónomo 1D es siempre integrable de Liouville - el Hamiltoniano $H$ es una integral de movimiento - por lo que tendríamos que considerar al menos 2D para encontrar el caos.

2. Un potencial cuadrático $V$ produce un sistema lineal, que no muestra el caos. Así que el potencial $V$ debe contener términos cúbicos o superiores.

3. El potencial debe mezclar coordenadas (por ejemplo, términos como $x_2^2x_1 $ ) para que el sistema no sea separable en dos sistemas 1D.

4. El Sistema Henon-Heiles en 2D con un potencial $V$ que contiene tanto términos cuadráticos como cúbicos se suele dar como ejemplo estándar de caos. Véase, por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

5. El sistema homogéneo de Henon-Heiles con un potencial puramente cúbico $V$ es un sistema aún más sencillo: el hamiltoniano $$H(x_1,p_1,x_2,p_2) = \frac{g}{3}x_1^3 + x_1 x_2^2 + \frac{1}{2}\left(p_1^2 + p_2^2\right)$$ es no integrable para muchos valores de $g$ , incluyendo $g \in (-\infty,1)$ . Véase el Ejemplo 3 (Ecuación 5.2) en la Sección 5.1 de la Ref. 1.

Referencias:

1. J.J. Morales-Ruiz, Teoría diferencial de Galois y no integrabilidad de sistemas hamiltonianos, Progreso en matemáticas. 179 (1999) . [ PDF gratuito ].