¿Por qué la integral de $(\nabla\psi)^2$ la misma que la integral de $(\nabla|\psi|)^2$ ?

Question

Según esto página de "Quantum Mechanics for Engineers" de Leon van Dommele, para una partícula la integral sobre todo el espacio:

$$I=\int (\nabla\psi)^2 + V\psi^2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}\tag{1}$$ con $\psi$ una función de onda real de una partícula y $V$ un potencial real, es lo mismo que:

$$I'=\int (\nabla|\psi|)^2 + V|\psi|^2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}.\tag{2}$$

¿Qué ocurre con los puntos en los que la función de onda cambia de signo?

Supongo también, que el potencial no incluye los términos de giro y velocidad, pero no estoy seguro.

¿Por qué deben ser iguales estas integrales? Este argumento es de una serie de afirmaciones para demostrar que el estado básico puede ser real, positivo y único. Parece trivial pero requiero esta integral para un problema más serio.

Answer 1

Leon van Dommelen afirma que para una función de onda real diferenciable $\psi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ tenemos $^1$ $$ \nabla |\psi| ~=~{\rm sgn}(\psi)\nabla \psi, \tag{A}$$ de modo que el término de energía cinética en las ecs. (1) y (2) no se modifica al sustituir $\psi\to|\psi| $ . Concluye que si una función de onda real $\psi$ minimiza el valor de la expectativa $\frac{\langle \psi |\hat{H}|\psi\rangle}{\langle \psi |\psi\rangle}$ del operador hamiltoniano, también lo hace $|\psi|$ .

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$^1$ El valor absoluto $|\psi|$ no es necesariamente diferenciable, pero la ec. (A) sigue teniendo sentido en teoría de la distribución .