Puedo usar la de Leibniz regla para diferenciar cuando la integral es $\int_0^\gamma f(\gamma,s)dF(s)$, en lugar de $\int_0^\gamma f(\gamma,s)ds$ ($F$ es un CDF)

Question

En concreto, supongamos que tengo un CDF $F$ y un integrante de $$ \int_0^\gamma (\gamma-s)dF(s) $$ y quiero encontrar $$ \frac{d}{d\gamma} \int_0^\gamma (\gamma-s)dF(s) $$

(Tenga en cuenta que el límite superior $\gamma$ indica que $s=\gamma$)

Si la integral se $\int_0^\gamma (\gamma-s)ds$ entonces se puede aplicar la regla de Leibniz. ¿Puedo utilizar la regla de Leibniz a pesar de que mi integral es de la forma $\int_0^\gamma f(\gamma,s)dF(s)$, en lugar de $\int_0^\gamma f(\gamma,s)ds$

(si $F$ es diferenciable de lo que puedo (rigurosamente/correctamente) escribir $dF(s) = f(s)ds$ y el formato estándar. Pero si $F$ tiene una masa de punto(s)... entonces no sé)

Answer 1

Voy a interpretar la integral como Riemann-Stieltjes integral. A continuación, mediante la integración por partes,

\begin{align*} \int_{0}^{\gamma} (\gamma-s) \, dF(s) &= \left[ (\gamma-s)F(s) \right]_{0}^{\gamma} + \int_{0}^{\gamma} F(s) \, ds \\ &= -\gamma F(0) + \int_{0}^{\gamma} F(s) \, ds \\ &= \int_{0}^{\gamma} (F(s) - F(0)) \, ds. \end{align*}

Así tenemos

$$ \frac{d}{d\gamma} \int_{0}^{\gamma} (\gamma-s) \, dF(s) = F(\gamma) - F(0) = \int_{0}^{\gamma} dF(s) $$

en cada una continuidad punto de $\gamma$$F$. Pero también note que esto es exactamente lo que se espera cuando la aplicación de la Leibniz integral de la regla:

$$ \frac{d}{d\gamma} \int_{0}^{\gamma} (\gamma-s) \, dF(s) \quad\,=\text{"}\quad \underbrace{(\gamma \gamma)F'(\gamma)}_{y=0} + \int_{0}^{\gamma} dF(s). $$

Answer 2

Yo no soy un experto en teoría de la probabilidad, pero creo que mi conocimiento es suficiente para hacer frente a este problema.

Suponga $\gamma>0$ por conveniencia.

Deje $\{a_i\}$ donde $a_i>0$ ser las discontinuidades de $F(s)$. Para $a_k<\gamma<a_{k+1}$, podemos volver a escribir la integral como $$\int_0^{a_1-\epsilon}(\gamma-s)f(s)ds+\left(\sum_{j=1}^{k-1}\int^{a_{j+1}-\epsilon}_{a_j+\epsilon}(\gamma-s)f(s)ds\right)+\int^\gamma_{a_k+\epsilon}(\gamma-s)f(s)ds$$

La diferenciación de que los rendimientos de

$$\int_0^{a_1-\epsilon}f(s)ds+\left(\sum_{j=1}^{k-1}\int^{a_{j+1}-\epsilon}_{a_j+\epsilon}f(s)ds\right)+\int^\gamma_{a_k+\epsilon}f(s)ds$$

Aunque un $\gamma$ aparece en la integración límite de la última integral, pero si usted se aplica Leibniz integral de la regla cuidadosamente, usted puede ver directamente traer la diferenciación en la integral iba a dar el resultado correcto.

EDITAR:

Yo debería haber estado explícitamente que $\epsilon$ se toma el límite de $\to 0^+$.

También, podría ser contrario a la intuición de que el valor del integrando en un punto de no afectar el valor de la integral.

Prueba:

De hecho, cuando la descomposición de su integral en particiones, yo no escribí algunas integrales, cuyo valor absoluto es $$\vert\int^{a_j+\epsilon}_{a_j-\epsilon}f(s)ds\vert\le(a_j+\epsilon-(a_j-\epsilon))|\text{max}_{[a_j-\epsilon, a_j+\epsilon]}f(s)|=2\epsilon |\text{max}_{[a_j-\epsilon, a_j+\epsilon]}f(s)|$ $ , que se desvanece en el límite, siempre y cuando la función no es infinito en la región.