No estoy seguro de lo que quieres decir por "no-estándar" variable aleatoria (tal vez no tener un "nombre" ?!), pero uno puede abordar el problema de la convergencia en distribución a través de funciones características, que parece bastante sencillo en este caso.
Deje $Y_n = \frac{S_n}{\sqrt{var(S_n)}}$, y de considerar su función característica
$$
\varphi_{n}(\lambda) = \mathbb{E} e^{i\lambda Y_n}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}.
$$
Si podemos demostrar que $\varphi_n(\lambda)$ converge pointwise a alguna función $\varphi(\lambda)$ que es continua en el origen, a continuación, $Y_n$ convergerían en la distribución de alguna variable aleatoria tener $\varphi $ como de su función característica (esta es la norma, véase Levy del teorema).
Lo que debemos hacer a continuación, es el estudio de la convergencia de $\varphi_n$, que es un ejercicio estándar en el cálculo.
El uso de independencia de $X_k$ hemos
$$
var S_n = \sum_{k=1}^n var X_k = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =: a_n.
$$
De nuevo, en vista de la independencia obtenemos
$$
\varphi_n
(\lambda) = \left(\mathbb{E} e^{i\lambda X_k (a_n)^{-1/2} } \right)^n=
\left[ \frac{\exp(i\lambda n^{3/2} a_n^{-1/2} ) + \exp(-i\lambda n^{3/2} a_n^{-1/2} )}{2n} + 1- \frac 1n \right)^n= \\
\left[1- \frac 1n + \frac 1n \cos \frac{\lambda n^{3/2}}{a_n^{1/2}} \right)^n.
$$
A partir de aquí, el uso de expansión de Taylor para $\log $ alrededor del origen, y el hecho de que $a_n \sim n^3/3$, tenemos
$$
\log \varphi_n (\lambda) = n \log \left(1- \frac 1n + \frac 1n \cos \frac{\lambda n^{3/2}}{a_n^{1/2}} \right) = n \left( -\frac 1n + \frac 1n \cos \frac{\lambda n^{3/2}}{a_n^{1/2}} + O(\frac{1}{n^2}) \right),
$$
al $n \to \infty$. Por lo tanto
$$
\log \varphi_n (\lambda) \-1 + \cos (\sqrt{3}\lambda), \text{ como } n \to \infty,
$$
lo que implica
$$
\varphi_n (\lambda) \a \exp\left( -1 + \cos (\sqrt{3}\lambda) \right) =: \varphi (\lambda).
$$
La función de $\varphi (\lambda)$ es claramente continua en el origen, y llegamos a la conclusión de que $Y_n $ converge en distribución a una variable aleatoria $S$ ha $\varphi$ como de su función característica.
