Variedad más pequeña que contiene a $\mathbb{Z}$

Question

Me han dicho que la respuesta es todo abelian grupos, pero no veo cómo.

Sé que la clase de todos los nilpotent grupos de grado 1 es un grupo de variedad y que un grupo de nilpotent de grado 1 es equivalente a que grupo abelian por lo que la clase de todos los abeliani grupos es de hecho una gran variedad. También sé que los números enteros son un grupo, cuando se la considera con la adición de la operación y que una clase de estructuras algebraicas de la misma firma es una variedad si y sólo si es cerrado bajo la toma de homomórfica imágenes, subalgebras y (directa) de los productos, pero no estoy muy seguro de cómo utilizar esta aquí, o si esta es la manera de ir sobre esto.

Creo que la estructura principal de esta prueba debe demostrar que $\mathbb{Z}$) se encuentra dentro de la variedad de todos los abelian grupos y, a continuación, mostrar que es el más pequeño que posiblemente podría contener $\mathbb{Z}$. Sé que en la clase de abelian grupos, el lenguaje es $(+, 0, \frac{1}{})$ y las identidades son $$(x+y)+z = x + (y+z),$$ $$x+y = y+x,$$ $$x + 0=x,$$ $$x+(-x) = 0,$$ todo lo cual, obviamente, hold on $\mathbb{Z}$. Es eso suficiente para decir que la clase de abelian grupos contiene $\mathbb{Z}$?

¿Cómo puedo mostrar nada más pequeños podrían contener $\mathbb{Z}$?

Answer 1

Parece que el uso de la definición de si la variedad dada por "una clase de álgebras definido por un determinado conjunto de ecuaciones".

En ese caso, uno puede demostrar que la HSP teorema (que algunos autores utilizan como una definición de la variedad) : vamos a $V$ ser una variedad que contenga $\mathbb{Z}$.

Esta variedad es estable en productos (que es la P en HSP) que contiene todos los $\mathbb{Z}^X$, $X$ un conjunto.

Pero ahora $\mathbb{Z}^{(X)}$ (las secuencias de $\mathbb{Z}^X$ que tienen todas las coordenadas $0$, excepto tal vez para un número finito de ellos) es una subalgebra de $\mathbb{Z}^X$ es $V$ (que es la S en HSP).

Que ahora es la parte interesante : si $G$ es un grupo abelian, a continuación, $G$ es una imagen homomórfica de $\mathbb{Z}^{(G)}$ (que es un ejercicio estándar en teoría de grupos), por lo tanto $G$ $V$ (que es la H en HSP).

Esto demuestra que todos los abelian grupos en $V$ Pero también demostró que toda álgebra de operadores en $V$ fueron abelian grupos, por lo $V$ es, precisamente, la variedad de abelian grupos !

Tenga en cuenta que he utilizado el hecho de que el libre abelian grupos ($\mathbb{Z}^{(X)}$$X$ juego) fueron en $V$, que venía del hecho de que el libre abelian grupo en un generador de ($\mathbb{Z}$) fue en $V$. Tan pronto como usted puede demostrar que una variedad contiene el libre álgebras de $V$, entonces se puede concluir exactamente de la misma manera que lo hice.

Answer 2

Voy a dar una respuesta que no depende de la HSP teorema.

Deje $\mathsf{V}(\mathbb{Z})$ ser la variedad más pequeña que contiene el grupo $\mathbb{Z}$. Deje $\mathcal{A}$ ser la variedad de todos los abelian grupos. Debe quedar claro que $\mathsf{V}(\mathbb{Z})\subseteq\mathcal{A}$ desde $\mathbb{Z}$ es un grupo abelian. Para mostrar a los otros la inclusión, suponemos que por la vía de la contradicción que $\mathbb{Z}$ satisface una ecuación que no es satisfecha por todos los abelian grupos. Vamos a llamar a que la ecuación de $s\approx t$.

1. Si $s\approx t$ está satisfecho, entonces también lo es $s-t\approx 0$.

2. La ecuación de $s-t\approx 0$ es de la forma $m_1x_1+\dots+m_kx_k\approx 0$ para algunos enteros $m_1,\dots,m_k$.

3. Si $m_1x_1+\dots+m_kx_k\approx 0$ está satisfecho, entonces también lo son las ecuaciones $m_1x\approx0$, $m_2x\approx0$, $\dots$, $m_kx\approx 0$.

4. Si las ecuaciones $m_1x_1\approx0$, $\dots$, $m_kx\approx 0$ están satisfechos, entonces lo es $nx\approx0$ donde $n=\gcd(m_1,\dots,m_k)$.

Pero $\mathbb{Z}$ no satisface $nx\approx0$ para cualquier entero $n$; es una contradicción!

Los detalles aún necesita ser llenado. Si usted no puede averiguar a ti mismo, entonces te recomiendo consultar Acantilado Bergman "álgebra Universal: fundamentos y temas seleccionados."