Transformación de conmutabilidad

Question

Supongamos que V es un espacio vectorial de dimensión finita y $f\in {\rm End}\ (V)$ es diagonalizable con ${\rm dim}\ V$ valores propios distantes. Mostrar para $Z(f):=\lbrace g\in {\rm End}\ (V)| fg=gf\rbrace$ tenemos ${\rm dim}\ Z(f)={\rm dim }\ V$

Answer 1

Dejemos que $\{\lambda_i\}_{1\leq i \leq n}$ sean los valores propios de $f$ y $B = \{v_i\}_{1\leq i\leq n}$ sea una base de $V$ con cada $v_i$ un vector propio de $f$ para $\lambda_i$ . Ahora bien, si $g\in End(V)$ las funciones $fg$ y $gf$ serán iguales si y sólo si coinciden en una base. En particular, podemos tomar $B$ . Por lo tanto, $fg = gf$ si y sólo si

$$ fg(v_i) = gf(v_i) = g(f(v_i)) = g(\lambda_i v_i) = \lambda_ig(v_i) \ (\forall i) $$

Por lo tanto, cada $g(v_i)$ es un vector propio de $f$ para $\lambda_i$ y como cada eigespacio tiene dimensión $1$ , $g(v_i) = \mu_i v_i$ para algunos $\mu_1 , \dots , \mu_n$ . Por lo tanto, tenemos el isomorfismo $\Gamma: \mathbb{k}^n \longrightarrow Z(f)$ dado por

$$\Gamma(\mu_1,\dots,\mu_n)(v_i) = \mu_iv_i $$

lo que concluye la prueba.

Answer 2

Si $fe_i=c_ie_i$ entonces $$ fge_i=gfe_i=gc_ie_i=c_i(ge_i) $$

Por lo tanto, si $ge_i \neq 0$ es un vector propio con respecto a $c_i$ . Por una suposición de $f$ , $ge_i=d_ie_i$ para algunos $d_i$ . Esto implica que $g$ es una matriz diagonal.

Si $ge_i=0$ entonces $ge_i=0e_i$ para que tengamos la misma conclusión.

Answer 3

Asumiendo por el momento con Lord Shark el Desconocido que $f$ es en realidad es diagonal, podemos escribir

$f = [\phi_i \delta_{ij}], \tag 1$

donde el $\phi_i$ , $1 \le i \le \dim V$ son los $\dim V$ valores propios distintos de $f$ . También podemos escribir

$g = [g_{ij}], \tag 2$

para que

$[fg] = [\phi_i \delta_{ij}][g_{ij}] = [\phi_j g_{ij}], \tag 3$

y

$[gf] = [g_{ij}][\phi_i \delta_{ij}] = [\phi_i g_{ij}]; \tag 4$

es decir, las filas de la matriz $[fg]$ son cada una una fila de $g$ multiplicado por el correspondiente valor propio de $f$ al igual que las columnas de $[gf]$ ya que estas dos matrices son iguales, en virtud de $fg = gf$ tenemos

$ [\phi_j g_{ij}] = [fg] = [gf] = [\phi_i g_{ij}], \tag 5$

de donde

$[(\phi_j - \phi_i)g_{ij}] = [\phi_j g_{ij} - \phi_i g_{ij}] = [\phi_j g_{ij}] - [\phi_i g_{ij}] = 0, \tag 6$

o

$(\phi_j - \phi_i)g_{ij} = 0, \; \forall i,j; \tag 7$

desde $\phi_i \ne \phi_j$ para $i \ni j$ encontramos que las entradas fuera de la diáspora de $[g_{ij]$ se desvanecen, por lo que

$[g_{ij}] = [g_{ii} \delta_{ij}] \tag 8$

debe ser también una matriz diagonal en cualquier base que estemos utilizando, en la que $f$ es diagonal. Ahora el espacio vectorial de matrices $\{[g_{ii} \delta_{ij}] \}$ es claramente de dimensión $\dim V$ sobre cualquier campo $F$ forma el conjunto de escalares para $V$ . Ya hemos cubierto el caso en el que $f$ es realmente diagonal.

En el caso de que $f$ no es diagonal, pero sin embargo diagonalizable existe algún tipo de inversión $m \in \text{End}(V)$ tal que

$[mfm^{-1}] = [\phi_i \delta_{ij}] \tag 8$

es una matriz diagonal, y como $fg = gf$ tenemos

$(mfm^{-1})(mgm^{-1}) = mfgm^{-1} = mgfm^{-1} = (mgm^{-1})(mfm^{-1}); \tag{9}$

ahora se deduce de lo que hemos realizado anteriormente que el espacio $\{ mgm^{-1} \}$ de todas las matrices que conmutan con $mfm^{-1}$ tiene dimensión $\dim V$ y así debe ser el espacio de esos $g$ desplazamientos con $f$ ya que el mapa $h \to mhm^{-1}$ es un isomorfismo del álgebra de $\text{End}(V)$ .