Existe una función f(x) se define como $$f(x)= \sqrt{x+1}$$ Y necesitamos encontrar su cuadrado es $$f^2(x)$$ O en otras palabras, tenemos que encontrar la $$f(x) × f(x)$$ Lo que estoy haciendo es :- Primero me encontré con el dominio de f(x) que es $$[-1,\infty)$$ Luego me enteré de la intersección de los dominios de f(x) y f(x), que también es igual a $$[-1,\infty)$$ Y entonces podemos escribir como :- $$f^2:[-1,\infty)\to$$ R está definida por $$f^2(x)=\sqrt{x+1}×\sqrt{x+1}$$ $$f^2(x)=x+1$$ Mi pregunta es que en $f^2(x)$ calculamos el dominio como $[-1,\infty)$ pero conseguimos $f^2(x)=x+1$ donde podemos poner cualquier número real por lo que su dominio debe ser R(números reales). ¿Qué estoy misssing aquí??? Cualquier ayuda es muy apreciada.
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Mucho de esto es el convenio. Pero vamos a mirar cuidadosamente lo que se va de todos modos. Vamos
$$g(x) = \sqrt{x+1} \times \sqrt{x+1}$$
A continuación, $g(-2)$ no está definido de acuerdo a la convención habitual para los dominios de las funciones definidas por las fórmulas (cuando sólo los números reales se consideran).
Ahora resulta que para cada una de las $x \geq -1$ hemos
$$g(x) \; = \; \sqrt{x+1} \times \sqrt{x+1} \; = \; x+1$$
Tenga en cuenta que esta ecuación no se cumple para todos los valores de $x$ que son menos de $-1,$ desde el lado izquierdo no está aún definida para cualquier valor de $x.$
Por lo tanto, para cada una de las $x \geq -1$ hemos
$$g(x)=x+1$$
y para cada una de las $x < -1$ hemos
$$g(x) \;\; \text{is undefined.} $$
Ahora supongamos que alguien que no ha visto nada de esto nos hace considerar la función
$$h(x) = x + 1, $$
y no se dice nada sobre el dominio de $h.$
Tanto que persona y estamos de acuerdo, según la costumbre, convención para los dominios de las funciones definidas por las fórmulas, que $h(x)$ está definida para todos los números reales $x.$ sin Embargo, sería incorrecto decir que el $g$ $h$ son la misma función, aunque ellos se definen usando la misma fórmula, debido a que $g$ tiene una especial restricción por ENCIMA Y más ALLÁ de LA COSTUMBRE, CONVENCIÓN PARA los DOMINIOS DE las FUNCIONES DEFINIDAS POR las FÓRMULAS, es decir, $g(x)$ sólo está definida para valores de $x$ mayor que o igual a$-1,$, mientras que de $h(x)$ está definida para todos los números reales $x.$
Por una similar, pero más extremo ejemplo, considere las funciones
$$G(x) \; = \; 0 \cdot \sqrt{-x^2 - 1} $$ y
$$ H(x) = 0 $$
Creo que no has entendido el hecho de que $x\mapsto f(x)^2= x+1$ $[-1,\infty)$ no $x\mapsto f(x)^2$$\mathbb R$. Siempre que su objeto de $f$ o $f^2$ (de los que depende el elegido dominio y codominio!) satisface los requisitos para ser una función que está bien. Se podría trabajar con $f:(0,T]\to\mathbb R$, $x\mapsto \sqrt{x+1}$ por ejemplo. No hay necesidad de considerar y ampliar las funciones para el mayor dominio posible.
Si $$f(x)=\sqrt{x+1}\space\text{for} \space x\in[-1,\infty)$$ Entonces $$f^2(x)=x+1\space \text{for}\space x\in[-1,\infty)$$ Obviamente, sabemos $g(x)= x+1$ PUEDE tomar todos los $x \in \Bbb R$, sin embargo, dado que el $f(x)$ es limitado, así que también es $f^2(x)$.
Ver este gráfico para ver cómo sucede.
Desde su primera función $f(x)$ se define sobre $[-1,\infty)$ significa que $x\in [-1,\infty)$, por lo que al definir la nueva función de $f^2(x)$, que función tiene el mismo dominio que el original $x$ menos que redifine el dominio de esa función a $R$ por ejemplo. Verás que en el cálculo que puede redifine una función racional como $\frac{x^2-9}{x-3}$ como esta \begin{cases} x+3, & \text{for } x \neq 3 \\ some\,value, & \text{for } x=3 \\ \end{casos}
así que no es necesario definir una función racional en ese caso por ejemplo.
