En las páginas 6-7 de su Ingenua Teoría de conjuntos, Paul Halmos demuestra un resultado que conozco muy bien, pero tengo un tiempo duro siguiendo el argumento que da aquí. Esta pregunta es acerca de Halmos el argumento (y no el resultado en sí, que entiendo bastante bien).
Voy a citar Halmos en longitud para asegurarse de que no te pierdas de nada. (Voy a ser lo más fiel posible, pero voy a cambiar de notación ligeramente, ya que lo usa $\epsilon$$\in$, e $\epsilon^\prime$$\notin$; voy a seguir a$\in$$\notin$). El extracto a continuación comienza justo después de que él ha dado el Axioma de especificación. (En el extracto, voy a usar negrita para indicar lo que estoy teniendo problemas con la.)
...Para indicar el camino de $B$ se obtiene a partir de a $A$ e de $S(x)$ se acostumbra a escribir $$B = \{x \in A:S(x)\}$$
Para obtener un divertido e instructivo de aplicación del axioma de especificación, a considerar, en el papel de $S(x)$, la sentencia $$\mathrm{not}\;(x \in x).$$
Será conveniente, aquí y en todo, para escribir $``x \notin A"$ ... en lugar de $``\mathrm{not}\;(x \in A)"$; en esta notación, el papel de la $S(x)$ es ahora interpretado por $$x \notin x.$$
De ello se desprende que, cualquiera que sea el conjunto de $A$ puede ser, si $B = \{x\in A:x\notin x\}$, entonces para todos los $y$, $$(*)\;\;\;\;\;y\in B\text{ if and only if } (y\in A\text{ and } y\notin y).$$
Puede ser que $B \in A$? Procedemos a demostrar que la respuesta es no. De hecho, si $B\in A$, entonces cualquiera de las $B\in B$ (poco probable, pero, obviamente, no imposssible), o bien $B\notin B$. Si $B\in B$,,$(*)$, la hipótesis de $B\in A$ rendimientos $B\notin B$—una contradicción. Si $B\notin B$,, $(*)$ nuevo, la suposición de $B\in A$ rendimientos $B\in B$—una contradicción de nuevo. Esto completa la prueba de que $B\in A$ es imposible, así que debemos tener $B\notin A$.
(En el debate posterior, Halmos argumenta que este resultado significa que "no hay ningún universo [el discurso]", etc., etc.)
Ahora, esto es lo que yo no entiendo. Si puedo reemplazar $y$$B$$(*)$, me sale
$$B\in B \text{ if and only if } (B\in A\text{ and } B\notin B).$$
Esto significa que $B\in B$ $(*)$ juntos implican $B\notin B$. Contrariamente a lo que Halmos escribe, "la suposición $B\in A$" no es necesario llegar a esta conclusión.
Lo que me estoy perdiendo?
(Por cierto, me hubiera redactado de la segunda parte de la prueba de una forma un poco diferente, a saber:
Si $B\notin B$,, $(*)$ nuevo, las suposiciones $B\in A$ $B\notin B$ conjunto implica que $B\in B$.
Menciono esto sólo en caso de que este cambio en la redacción da una pista sobre donde mi confusión está.)
