En pocas palabras:
Al demostrar la equivalencia de la teoría de la intersección construida a través de (Milnor) K-hornos y su producto frente a la definición del producto a través de la fórmula de multiplicidad local de Serre + mover, no veo ninguna manera de hacer esta prueba que no necesite una cantidad ENORME de cosas de la teoría de la intersección general.
Si sólo quiero intersecar ciclos codim 1, y la teoría de la intersección es realmente mucho más fácil en este caso, ¿alguien tiene una idea de cómo evitar la mayor cantidad de páginas de Fulton, Gersten, Grayson como sea posible?
(como ejemplo concreto, ¿alguien sabe cómo evitar utilizar en algún punto la construcción de deformación a cono normal del producto de Chow? ¿O tiene al menos una sugerencia para mí de cómo podría intentar ir directamente a la de Serre?)
En un poco más de tiempo (si te interesa):
Se puede expresar la multiplicidad de intersección de dos ciclos algebraicos (que se intersectan correctamente) mediante la fórmula de Serre con Tor alternados (véase por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Serre%27s_multiplicity_conjectures ). Eso es estupendo y agradable para el cálculo.
Por otro lado, Bloch-Quillen me dice (en cualquier situación agradable) que CH^l = H^l (X, K_l), donde K_l es la l-ésima gavilla de teoría K (sitio Zariski). Para l=1 esto se reduce a CH^1 = H^1(X, O_X*), la relación clásica entre los grupos de clase divisora de Cartier y Weil.
Usando Bloch-Quillen (en una versión para Milnor K, que se conoce) y un viejo resultado de Grayson (creo) que dice que la construcción del producto de cohomología de gavillas y el producto de anillos de Chow hasta el signo dan lo mismo, obtengo lo mismo considerando
H^1 (O*) $\otimes$ ... $\otimes$ H^1(O*) ---> H^n( $K^M_n$ )
(utilizando el producto de cohom. de gavillas + el producto ingenuo de "concatenación de símbolos" en el anillo K de Milnor)
así como
CH^1 (X) $\otimes$ ... $\otimes$ CH^1 (X) ---> Z .
Bien.
Sin embargo, para construir el primer mapa no hace falta ninguna gran teoría ni nada: El producto en cohom. de gavilla es fácil; todo lo demás necesario sería explicitar el mapa
H^n( $K^M_n$ ) ---> Z .
Esto es un poco engorroso, pero escribiendo alguna resolución explícita de cohomología de gavilla (digamos Godement o Cech o lo que se quiera) y usando el flasque (versión Milnor K) de la resolución Gersten para $K^M_n$ uno acaba teniendo que seguir un zig-zag en un bicomplejo.
A lo largo de este zig-zag se acumula un montón de mapas de residuos de Milnor K $\partial_v$ (que constituyen el diferencial de Gersten y se inducen en el bicomplejo), y tal vez ni siquiera sea tan importante desenvolver todas estas cosas con todo detalle, pero al final uno obtiene una terrible expresión (permítanme que me quede con este nombre para más adelante) que implica montones y montones de mapas de residuos de Milnor K y una vasta suma sobre todos los puntos del esquema (pero sólo con un número finito de sumandos no nulos, así que está bien).
De todos modos, es posible que mantenga esta fórmula más o menos explícita. De este modo, podría construir teóricamente el mapa
H^1 (O*) $\otimes$ ... $\otimes$ H^1(O*) ---> Z
sin usar ninguna teoría básicamente, sólo usar la fórmula explícita del Godement de Godement para obtener el producto de 1 ciclo y aplicar la [terrible fórmula] que viene del desenrollado de la iso de Bloch-Quillen [para ser totalmente precisos, para llegar a Z primero desenrollamos Bloch-Quillen H^n(K^M_n) a CH^n(X) y luego hacemos explícito el pushforward al esquema del campo base, esto nos lleva a CH_0 de Spec k y que es canónicamente iso a Z Este es el mapa que desenrollamos aquí].
(digamos que ignoramos aquí la cuestión para demostrar que la cosa resultante es efectivamente un mapa bien definido sobre las clases de cohomología)
Ahora mi problema es el siguiente: En principio, expresar el producto de intersección
CH^1 (X) $\otimes$ ... $\otimes$ CH^1 (X) ---> Z
(y la discusión anterior implica que esta versión [terrible-fórmula] dada es la misma) no es realmente tan difícil. Por un lado, la intersección con los divisores es mucho más fácil que el caso general, y además se puede construirla con bastante rapidez usando las características de Euler, por ejemplo (véanse, por ejemplo, las primeras páginas del libro de Debarre sobre alg. de dimensión superior geometría).
Por lo tanto, mi estúpido yo habría esperado (y esto desencadenó todo este actividad de alguna manera) que al elaborar la [terrible fórmula] explícita como mencionada anteriormente desde la perspectiva de Bloch-Quillen, tal vez sería no sería tan difícil identificarla como una característica de Euler / fórmula de multiplicidad de Serre. de Serre. ¿Por qué no?
Sin embargo, ocurre todo lo contrario. La fórmula es superterrible e implica un montón de mapas de residuos K de Milnor (por lo que en el caso de la superficie que serían símbolos mansos esencialmente), y no está nada claro cómo podría relacionarse directamente con las cartas de Euler, los polinomios de Hilbert la fórmula de Serre o cualquier otra aproximación a las intersecciones que uno pueda tener en mente (o al menos yo tengo en mente).
Así que me atrevo a preguntar, ¿la verdad es tan deprimente como tener que admitir que incluso en esta simple situación de intersección de sólo divisores, no hay no hay una forma más sencilla de relacionar la [terrible-fórmula] con (digamos) la fórmula de Serre que que pasar por toda la historia de Bloch-Quillen y una razonable de Fulton?
Por favor, disculpen mi estupidez y denme alguna idea/enfoque de cómo acortar Bloch-Quillen/Fulton. ¿Existe tal vez algún enfoque utilizando productos tensoriales directamente derivados de gavillas O*, algo así como que parece ocurrir en el artículo "symbole modéré" de Deligne (y el símbolo modéré aparece en el caso 2-dim de [fórmula terrible]), viene del residuo de Milnor K, pero parecía (pero quizás estaba ciego) no indicar cómo conectar esto con la geometría).
Ahhhh, es una vida dura.
