Problema
Encontrar el mayor $n \in \mathbb{N_+} $ tal que $\{ \left(2+\sqrt{2}\right)^n\} < \dfrac{7}{8}$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x.$
Mi Solución
En primer lugar, podemos comprobar que la $a_n=(2+\sqrt{2})^n+(2-\sqrt{2})^n$ es un número entero de la secuencia. Para este propósito, se puede aplicar la inducción matemática. Sin embargo,de hecho,por la configuración de la ecuación característica $x^2-4x+2=0$，podemos confirmar que la igualdad por encima de la $a_n$ realmente da el término general de la fórmula de la recursividad de la secuencia de la siguiente manera $$a_1=2,a_2=12,a_{n+2}=4a_{n+1}-2a_{n}(n=1,2,\cdots).$$ Now, it's clear that $a_n$ are a series of integers. Moreover, notice that $0<(2-\sqrt{2})^n<1.$ We can obtain $\{(2+\sqrt{2})^n\}=1-(2-\sqrt{2})^n.$ Thus, the problem is to ask us to find the largest $n \in \mathbb{N_+}$ tal que
$$\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^n<8.$$ But the left side increases with the increasing $$ n. Por lo tanto, sólo necesitamos poner a prueba el valor crítico.
Desde $$2^{3/4}=\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}<\frac{2+\sqrt{2}}{2}<\frac{2+2}{2}=2,$$ we have $\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^4>2^3=8$, and $\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^3<2^3=8.$ As a result, the largest $n$ is $3$.
Por favor me corrija si estoy equivocado! Y espero ver otra nueva solución. Gracias!
