Hacer orientada null cobordant colectores de admitir spin estructuras?

Question

Deje $M$ ser una orientada a null cobordant colector.

Desde $M$ es orientado su primer Stiefel-Whitney clase se desvanece.

Desde $M$ es nulo cobordant todos sus Stiefel-Whitney números de desaparecer.

Se sabe si esto implica que la segunda Stiefel-Whitney clase desvanece para que $M$ admite un giro de la estructura? O hay conocidos contraejemplos?

Answer 1

No: Tome su favorito orientables no-spin colector $M$. A continuación, $M\times S^1$ también no admitir una vuelta estructura como la segunda stiefel whitney clase no se desvanecen. Pero este colector es nullbordant: es el límite de $M\times D^2$ donde $D^2$ es el disco.