$AB + BA = A \implies A$ $B$ tienen en común un autovector

Question

Deje $A$ $B$ $M_n(\mathbb C)$ $n$ ser impar.

Supongamos $AB + BA = A$. Demostrar que $A$ $B$ tienen en común un vector propio.

(Es a partir de un examen oral.)

Pido una sugerencia para esto, no es una solución completa. Gracias.

Answer 1

Observar que $$AB -\frac{1}{2}A +BA-\frac{1}{2}A=0$$ $$A(B -\frac{1}{2} I) =-(B -\frac{1}{2} I)A$$ Por lo tanto matrixs $A$ $C=B -\frac{1}{2} I$ satisface la identidad $$AC=-CA.$$ Suposse that $\lambda$ is an eingevalue of $$ and $x_{\lambda}$ is an suitable eingevector. Then $$CAx_{\lambda} =\lambda Cx_{\lambda}=-ACx_{\lambda}$$ hence $-Cx_{\lambda}$ is an eingevector of $$ correspondent to eingenvalue $\lambda.$ Si asumimos que uno de eingenspaces de $A$ es unidimensional, a continuación, $-Cx_{\lambda}$ mus ser un múltiplo de $x_{\lambda}$ por lo tanto $$-Cx_{\lambda}=\mu x_{\lambda}$$ $$(\frac{1}{2}I -B)x_{\lambda}=\mu x_{\lambda}$$ $$Bx_{\lambda}=\left(\frac{1}{2} -\mu \right) x_{\lambda}$$ Por lo tanto $A$ $B$ tienen en común un eingevector $x_{\lambda}.$

Answer 2

La observación clave, como se señaló en otra respuesta, es que la ecuación puede escribirse como $AC=-CA$ donde $C=B-\frac12 I$ tienen los mismos vectores propios como $B$.

Desde $AC=-CA$ $n$ es impar, si usted toma determinantes en ambos lados, se ve que uno de $A,C$ debe ser singular.

Supongamos $C$ ser singular y $0\ne v\in\ker C$. A continuación,$v,Av,A^2v,\ldots\in\ker C$. Usted puede continuar a partir de aquí.

Answer 3

Si $Bv=cv$,$BAv=(1-c)Av$. Si $Av=0$, entonces hemos terminado. Si no, entonces $Av$ es autovector de a $B$.

Tenga en cuenta que $A^{2i}v$ es autovector wrt $c$ $A^{2i+1}v$ es autovector wrt $1-c$.

i) $c=\frac{1}{2}$ : Así que supongo que por larga, $\frac{A^{i} v}{|A^{i} v|}\rightarrow X$. And $BX=cX$. Y $$ AX = \lim\ \frac{A^{i+1}v}{|A^{i+1}v|} \frac{|A^{i+1}v|}{|A^{i} v|} =\lambda X$$

ii) $c\neq \frac{1}{2}$ : Por subsequence, $\frac{A^{2} v}{|A^{2i} v|}\rightarrow X$. And $BX=cX$. Y $$ A^2X = \lim\ \frac{A^{2i+2}v}{|A^{2i+2}v|} \frac{|A^{2i+2}v|}{|A^{2} v|} =\lambda X$$

Y $Y=AX,\ BY=(1-c)Y$. Además, $AY=A^2X=\lambda X$.

Por lo tanto hacemos lo mismo en el subespacio ortogonal a ${\rm span}(X,Y)$.

Answer 4

Sugerencia: considerar primero $A^2$$B$.

Answer 5

Sugerencia: Muestre que $A^2B=BA^2$ y el uso de esta respuesta: https://math.stackexchange.com/a/1227219/58818

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