Tres dimensiones de la rotación de las ecuaciones.

Question

Tengo un conjunto de ecuaciones que describen un alambre en (100) dirección.

Quiero girar el alambre que está en la dirección (111).

Mi plan inicial (que fracasó) fue el uso de Euler coordenadas y aplique primero una rotación $R_y(\pi/4)$ y, a continuación, $R_z(\pi/4)$

donde la rotación de las matrices se definen como sigue:

$$\begin{alignat}{1} R_x(\theta) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt] 0 & \sin \theta & \cos \theta \\[3pt] \end{bmatrix} \\[6pt] R_y(\theta) y= \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt] 0 & 1 & 0 \\[3pt] -\sin \theta & 0 & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \\[6pt] R_z(\theta) y= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt] \sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \end{alignat}$$

Si yo ahora realizar la operación $R_z(\pi/4) R_y(\pi/4) [x, y, z]^T=\left[\begin{matrix}0.5 x - 0.5 y + 0.5\sqrt{2} z\\0.5\sqrt{2} x + 0.5\sqrt{2} y\\- 0.5 x + 0.5 y + 0.5\sqrt{2} z\end{matrix}\right]$

y rellenar $[x,y,z]=[1,0,0]$ I get $\left[\begin{matrix}0.5 \\0.5\sqrt{2} \\- 0.5 \end{matrix}\right]$, mientras yo quiero $\left[\begin{matrix}1/\sqrt{3} \\1/\sqrt{3} \\1/\sqrt{3} \end{matrix}\right]$.

Lo que en mi razonamiento es incorrecto, y cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Uno de los problemas es que el ángulo entre el $z$-eje y el vector $(1,1,1)$ no $\frac\pi4.$

Una forma alternativa de hacer esta rotación es decidir donde desea que las imágenes de los tres vectores de la base a ser, y de la forma de su matriz de rotación directamente a partir de esa información.

En este caso, usted quiere que la imagen de $(1,0,0)^T$ $e'_1 = \left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)^T,$ así que elige dos adecuada vectores (ortogonal a este vector y el uno al otro) a las imágenes de $(0,1,0)^T$$(0,0,1)^T$. Basado en el de Euler-ángulo de rotación que tenía en mente, se parece a la imagen deseada de $(0,1,0)^T$ sería $e'_2 = \left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right)^T.$ La imagen de la $z$-eje en el sistema de coordenadas preferido a continuación, es el producto de los otros dos vectores, $e'_3 = e'_1 \times e'_2.$

Una vez que usted haya decidido sobre los nuevos vectores de la base, simplemente los utilizan como las columnas de la matriz de transformación: $$ M_T = \begin{pmatrix} e'_1 & e'_2 & e'_3 \end{pmatrix}.$$ (Esta es una $3\times3$ de la matriz después de la expansión de $e'_1,$ $e'_2,$ y $e'_3$.) Es fácil constatar que esta matriz transforma los vectores $(1,0,0)^T$, $(0,1,0)^T$, y $(0,0,1)^T$ a la deseada vectores.

Answer 2

Sugiero una solución que consiste en la definición de la rotación ortogonal de transformación que preserva orientación en $\mathbb{R}^3$. Denotamos por a $e_1=(1,0,0)^T, e_2=(0,1, 0)^T, e_3=(0,0,1)^T$ el estándar en $\mathbb{R}^3$. Ahora creamos una nueva base ortonormales $(u_1, u_2, u_3)$ donde $u_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$ es el vector unitario asociado a $v=(1,1,1)^T$. El complemento ortogonal de $v$ se define como $v^\perp=\{w=(x,y,z)^T\:|\: w\perp v \Leftrightarrow v^Tw=0 \Leftrightarrow x+y+z=0\}$. El subespacio $v^\perp$ es de 2 dimensiones. Elegimos un vector $w=(-1,1,0)^T$ en este subespacio y denotan por $u_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^T$ su vector unitario. El producto cruzado $u_1\times u_2:=u_3=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1, 2)^T$ es un vector unitario en $v^\perp$, y por la construcción de la base ortonormales $(u_1, u_2, u_3)$ está orientado positivamente. Así, el lineal mapa de $R:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ tal que $R(e_k)=u_k$, $k=1,2,3$, es la rotación. Su matriz con respecto a la norma base es la matriz $A$ teniendo como columnas los vectores $R(e_1), R(e_2), R(e_3)$: $$A=\left[\begin{array}{rrr}\dfrac{1}{\sqrt{3}}&-\dfrac{1}{\sqrt{2}}&-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}&0&\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$$ $R$ asocia a cada vector $s=(x,y,z)^T$, el vector $$R(s)=A\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]$$

Answer 3

Una manera sencilla es para girar la unidad vector inicialmente a lo largo del eje x en un estándar de sistema de coordenadas esféricas en dos rotaciones :

$ \theta = \pi/4 ,\phi = tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}. $