No se trata de una solución completa sino de unos pocos comentarios (que son demasiado largos para un comentario) que tal vez alguien encuentre útil.
Su resultado no es completamente correcto. De hecho, el conjunto general de soluciones es $$ z= \frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {3} i$$ es una raíz adicional.
Tal vez se pueda obtener alguna visión del problema usando el hecho de que el $ \Gamma $ La función es distinta de cero en todas partes del plano complejo: Multiplicando la ecuación $ \Gamma (z) + \Gamma ( \overline {1-z}) = \Gamma (z) + \overline { \Gamma (1-z)}$ con $ \Gamma (1-z)$ obtenemos $$ \frac\pi { \sin ( \pi z)} + | \Gamma (1-z)|^2 =0$$ para todos los ceros de su función. Ahora $| \Gamma (1-z)|^2 \geq 0$ . Así que necesitamos que $ \pi / \sin ( \pi z)$ es un número real negativo (por lo tanto $ \sin ( \pi z)$ tiene que ser un número real negativo). Por lo tanto, encontramos que necesitamos tener ya sea que $z \in (1,2) + 2 \mathbb {Z}$ (que están en la línea real y por lo tanto excluidos de su conjetura) o $$ \text {Re}(z)=- \frac {1}{2}+2 \mathbb {Z}.$$
Así que vamos a establecer $z= -1/2 +2n + i y$ Entonces (por $n=0$ ) tenemos la propiedad $$| \Gamma (1-z)|^2 = \Gamma (3/2+ i y) \Gamma (3/2- i y) = \frac { \pi (1+4y^2)}{4 \cosh (y)} \qquad (1)$$ junto con $$ \frac { \pi }{ \sin ( \pi z)} = - \frac { \pi }{ \cosh ( \pi y)} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (2)$$ encontramos la solución $y= \pm\frac {1}{2} \sqrt {3}$ .
De manera similar, encontramos las soluciones citadas anteriormente para $n=1$ . Para $n \notin\ {0,1\}$ Supongo que deberíamos unirnos $| \Gamma (1-z)|^2$ . Note que ambas partes (1) y (2) se descomponen como $e^{-y}$ en general, por lo que es realmente una cuestión de prefectos si se puede encontrar una solución (por eso también es por lo que no logré probar la versión extendida de su conjetura).
