Me estoy preparando para el GRE.
Agradecería si alguien pudiera explicar la forma correcta de resolver este problema. Me parece sencillo pero el sitio donde encontré este problema dice que estoy equivocado pero no explica su respuesta. Así que aquí está el problema al pie de la letra:
Encuentra el número de trayectorias de x a y moviéndose sólo hacia la derecha (R) o hacia abajo (D).
Mi respuesta es 6. ¿Qué me falta?
Gracias por cualquier ayuda.
La solución al problema general es que si hay que tomar $X$ pasos correctos, y $Y$ pasos hacia abajo, entonces el número de rutas es simplemente las formas de elegir dónde tomar los pasos hacia abajo (o hacia la derecha), es decir
$$ \binom{X + Y}{X} = \binom{X + Y}{Y} $$
Así que en tu ejemplo, si estás atravesando cuadrados, entonces hay 5 pasos a la derecha y 1 paso hacia abajo:
$$ \binom{6}{1} = \binom{6}{5} = 6 $$
Si se atraviesan los bordes, entonces hay 6 pasos a la derecha y 2 pasos hacia abajo así:
$$ \binom{8}{2} = \binom{8}{6} = 28 $$
Puede ser que valga la pena señalar para el OP que un método similar funciona si $x,y$ están en $n$ -espacio dimensional.
Aquí el mediodía matemático. ¿Cómo se llama esta notación? ¿Hay algún lugar donde pueda leer sobre ella?
Si te entra el pánico durante la prueba, considera la posibilidad de dibujarla simplemente como El triángulo de Pascal
Dónde
¡Exactamente janmarqz! Este rectángulo se llama una cuadrícula de 7 por 3, por lo que el viaje es a lo largo de los vértices en los segmentos de línea.
Para llegar desde punto x (no la x cuadrada) a punto y hay $8$ pasos a seguir. $2$ de ellos hacia abajo y $6$ a la derecha. Así que sólo se trata de elegir exactamente $2$ de la $8$ pasos consecutivos para ser los pasos hacia abajo.
Recogiendo $2$ de $8$ puede hacerse en $\binom{8}{2}=28$ formas.
Cuando se piensa en plazas en lugar de puntos entonces hay $6$ pasos a seguir. $1$ de ellos hacia abajo y $5$ a la derecha. Así que sólo se trata de elegir exactamente $1$ de la $6$ paso consecutivo para ser los pasos hacia abajo.
Recogiendo $1$ de $6$ puede hacerse en $\binom{6}{1}=6$ formas.
Eso explica el hecho de que su respuesta fuera $6$ .
Por lo tanto, la lección es mirar cuidadosamente lo que se pide. En este caso el movimiento entre vértices en lugar de saltos entre cuadrados, y vértices porque tienes que asumir basado en el diagrama que X e Y se refieren a vértices no a cuadrados. Parece un error fácil de cometer.
Aquí se puede calcular fácilmente el número de caminos aplicando el concepto de COMBINACIÓN.
Entonces, ¿cuál es el concepto?
ok entonces.....consideremos que para proceder de x a y tenemos que dar los pasos hacia la dirección de DERECHA y ABAJO....fine?
y tomemos DERECHA = R y ABAJO = D.....sigue estando bien.. :-)
ahora mira si alguien quiere ir de X a Y debe dar 2 pasos hacia abajo y como máximo 6 hacia la derecha.
Así que podemos decir que tenemos que dar un total de 8 números de pasos. Puedes comprobar por ti mismo que debemos dar 8 pasos para llegar a Y partiendo de X poit.ok.
y ver aquí podemos escribir una combinación de pasos, como: { R-R-R-D-R-D-R } -----(ver es un camino transversal adecuado.emparejar este camino con la imagen.)
Y ahora podemos hacer nuestra principal observación sobre este problema..... Entonces, ¿qué es? Mira, tienes que dar un total de 8 pasos y todos ellos son la combinación de R y D's ok?
Y la observación es: Tienes que dar sólo 2 D(paso hacia abajo) y también sólo 6 R(paso hacia la derecha) para llegar a Y.
¡¡¡¡¡Así que podemos decir que el número total de combinaciones es: CUÁNTA COMBINACIÓN DE 'R' O 'D' es posible del total de 8 pasos!!!!!
La respuesta requerida es en realidad la combinación de 2 LUGARES para las D O 6 LUGARES para las R de 8 pasos totales(O TOTAL 8 LUGARES donde tienen lugar las letras R y D)........
ver aquí sólo estamos mapeando nuestro problema de contar el número de ¡¡¡caminos adecuados de X a Y en un problema básico de conteo.....Y acabamos de hacer una conexión lógica entre estos dos problemas y está claro que si podemos calcular la combinación de 2 LUGARES para D's O 6 R's de un total de 8 pasos será suficiente!!!
Aquí está el total de 8 lugares donde D y R pueden tener lugar:
{ \_\_\_ \_\_\_ \_\_\_ \_\_\_ \_\_\_ \_\_\_ \_\_\_ \_\_\_ }Y en realidad ELEGIMOS 2 plazas para 2 D's O ELEGIMOS 6 plazas para 6 R's pero no nos molestamos por la oreding de D's O R's.....los 2 D's O los 6 R's pueden tale lugar al azar pero su requisito para los lugares es fijo!! es 2 para 2 D's y es 6 para 6 D's......en realidad elegir 2 D's O 6 R's son básicamente lo mismo!!! :-)
Por lo tanto, la respuesta es : 8C2 o 8C6 (¡¡nótese que ambos son iguales!! :-) ) 8C2 = 28 y fácilmente se puede ver 8C6 = 28.
ENTONCES, ¡HAY 28 CAMINOS DE X A Y!!
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Esto está relacionado con una cuestión más general ya mencionada aquí: Caminos de la red y números catalanes o de forma ligeramente diferente aquí ¿Cómo puedo hallar el número de los caminos más cortos entre dos puntos de una retícula 2D? . Esto se llama Camino de Dyck . Es un tema de combinatoria muy bonito.
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@MarcvanLeeuwen. Gracias Marc. La verdad es que mi comentario no era preciso: Los caminos de diques no pueden cruzar la diagonal del $n\times n$ cuadrado en el que están dibujados. Lástima que ya no pueda editarlo.