En un agudo ángulo del triángulo, tenemos $\tan(A)\cdot\tan(B)\cdot\tan(C) \geq 3\sqrt{3}$

Question

Cómo mostrar:

En un agudo ángulo $\triangle \ ABC$ muestran que $$\tan(A) \cdot \tan(B)\cdot \tan(C) \geq 3\sqrt{3}$$

Alguna idea?

Answer 1

$$A+B=\pi-C$$

\begin{align*} &\tan (A+B)= \tan (\pi-C)\\ &(\tan A+ \tan B)/(1-\tan A \tan B)= (\tan \pi- \tan C)/(1+\tan \pi \tan C)=-\tan C\\ &(\tan A+ \tan B)= -\tan C(1-\tan A \tan B)\\ &\tan A + \tan B= -\tan C+ \tan A \tan B \tan C\\ &\tan A + \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C \end{align*}

Answer 2

SUGERENCIA:

El uso de la AM-GM de la desigualdad.