Derivado de la $\frac{d}{dx}\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

Question

Mostrar que $\frac{d}{dx}\ln (x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Así que yo lo he hecho hasta ahora:

$$\frac{d}{dx}\ln (x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1+x(x^2+1)^{-0.5}}{x+(x^2+1)^{0.5}}$$

He probado varias combinaciones, pero no puede alcanzar el resultado deseado. Podría alguien ofrecen un toque me llego a ir?

Gracias

Answer 1

Su diferenciación es correcta, y aplicar la regla de la cadena correctamente. Pero como nota, el resultado puede ser simplificado.

Vamos a reescribir la fracción, expresando el plazo $x(x^2 + 1)^{-0.5}$ en el numerador como $\frac{x}{\sqrt {x^2 + 1}}$, entonces simplemente multiplique el numerador y el denominador por $\sqrt{x^2 + 1}$:

$$\begin{align}\frac{1+x(x^2+1)^{-0.5}}{x+(x^2+1)^{0.5}} & = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\ \\ & = \frac{\sqrt{x^2 +1} + x}{{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}}\\ \\ & =\frac{\color{blue}{\bf x+\sqrt{x^2+1}}}{(\color{blue}{\bf x+\sqrt{x^2+1}})\sqrt{x^2+1}} \\ \\ & =\frac1{\sqrt{x^2+1}}\end{align}$$

Answer 2

Reconocer la función de $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ como el seno hiperbólico inverso, $\text{arcsinh } x$. De acuerdo con el teorema de la función inversa tenemos

$$\frac{d}{dx} \text{arcsinh } x=\frac{1}{\cosh \text{arcsinh }x}=\frac{1}{\dfrac{e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}+e^{-(\ln{x+\sqrt{x^2+1}})}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. $$

Answer 3

Usando la Regla de la Cadena de derivados , $$\frac{d(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))}{dx}=\frac{d(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))}{d(x+\sqrt{x^2+1})}\frac{d(x+\sqrt{x^2+1})}{dx}$$

$$=\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$$