Un vínculo conceptual entre los árboles y los espacios polacos

Question

¿Podría alguien explicarme por qué los árboles son tan relevantes para el estudio de los espacios polacos y la teoría descriptiva de conjuntos?

Sigo sin conseguir la conexión adecuada (...y cuando creo que lo he conseguido - véase el esquema de Lusin - descubro que mi intuición falló).

Cualquier comentario o respuesta será bienvenido. Gracias por su tiempo.

Answer 1

En la sección de comentarios la gente ha dado una razón muy buena y fundamental por la que los árboles son tan importantes para la teoría descriptiva de conjuntos, a saber, la universalidad de los espacios secuenciales $A^\omega$ para contable $A$ . Me gustaría añadir algo a estos comentarios, y tal vez esto podría ayudarle en la obtención de alguna nueva intuición.

¿Cómo se describe un $G_\delta$ (es decir, $\Pi_2^0$ ) en general? Basta con tomar una familia contable $\{U_i\}_{i\in\omega}$ de conjuntos abiertos y tomar la intersección: $\bigcap_i U_i$ . Ahora si quieres subir un escalón más en la jerarquía de Borel y echar un vistazo a la forma general de un $G_{\delta\sigma}$ debe tomar una familia contable (doblemente indexada) de conjuntos abiertos $\{U_{ij}\}_{i,j\in\omega}$ y luego $$ \bigcup_j\bigcap_i U_{ij}. $$ es un $G_{\delta\sigma}$ set. Al entrar en los niveles superiores (finitos) de la jerarquía, acabaremos con una familia de conjuntos abiertos indexados por secuencias finitas de los números naturales. Creo que una gran intuición fue darse cuenta de que el conjunto de índices tenían una estructura topológica propia, y ésta es tan fundamental que finalmente resultó que esta topología subyace a la estructura de todos los conjuntos de Borel (y analíticos, debido a la operación Suslin) en los espacios polacos. Un ejemplo de ello es el siguiente teorema: para todo conjunto de Borel $B$ en un espacio polaco hay un árbol $T$ en $\omega$ y una biyección continua desde el conjunto (cerrado) $[T]$ de infinitas ramas de $T$ en $B$ .