¿Por qué es tan importante el oscilador armónico?

Question

Me he preguntado qué hace el oscilador armónico un modelo tan importante. Lo que se me ocurrió:

• Es un sistema (relativamente) sencillo, lo que lo convierte en un ejemplo perfecto para que los estudiantes de física aprendan los principios de la mecánica clásica y cuántica.

• El potencial del oscilador armónico puede utilizarse como modelo para aproximar bastante bien muchos fenómenos físicos.

Sin embargo, el primer punto no tiene sentido, creo que la verdadera razón es mi segundo punto. Estoy buscando algunos materiales para leer sobre las diferentes aplicaciones de la HO en diferentes áreas de la física.

Answer 1

El oscilador armónico es importante porque es una solución aproximada a casi cada sistema con un mínimo de energía potencial.

El razonamiento viene de Ampliación de Taylor . Consideremos un sistema con una energía potencial dada por $U(x)$ . Se puede hacer una aproximación $U$ en $x=x_0$ por $$ U(x) = U(x_0) + (x-x_0) \left.\frac{dU}{dx}\right|_{x_0} + \frac{(x-x_0)^2}{2!} \left.\frac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0} + \cdots $$ El sistema tenderá a establecerse en la configuración donde $U(x)$ tiene un mínimo --- pero, por definición, es donde la primera derivada $dU/dx = 0$ desaparece. Además, un desplazamiento constante de una energía potencial no suele afectar a la física. Esto nos deja con $$ U(x) = \frac{(x-x_0)^2}{2!} \left.\frac{d^2U}{dx^2}\right|_{x_0} + \mathcal O(x-x_0)^3 \approx \frac12 k (x-x_0)^2 $$ que es el potencial del oscilador armónico para pequeñas oscilaciones alrededor de $x_0$ .

Answer 2

Para empezar, hay que tener en cuenta que hay más de una encarnación de "el" oscilador armónico en la física, así que antes de investigar su significado, probablemente sea beneficioso aclarar qué es.

¿Qué es el oscilador armónico?

Hay al menos dos encarnaciones fundamentales de "el" oscilador armónico en la física: el clásico oscilador armónico y el quantum oscilador armónico. Cada uno de ellos es una cosa matemática que puede utilizarse para modelar parte o la totalidad de ciertos sistemas físicos en un sentido exacto o aproximado, según el contexto.

El versión clásica se encapsula en la siguiente ecuación diferencial ordinaria (EDO) para una función desconocida de valor real $f$ de una variable real: \begin{align} f'' = -\omega^2 f \end{align} donde los primos denotan aquí las derivadas, y $\omega$ es un número real. El versión cuántica está encapsulado por la siguiente relación de conmutación entre un operador $a$ en un espacio de Hilbert y su adjunto $a^\dagger$ : \begin{align} [a, a^\dagger] = I. \end{align} Puede que no resulte obvio que tengan algo que ver entre sí en este momento, pero así es, y en lugar de estropearles la diversión, les invito a investigar más a fondo si no están familiarizados con el oscilador armónico cuántico. A menudo, como se menciona en los comentarios, $a$ y $a^\dagger$ se denominan operadores de escalera por razones que no abordamos aquí.

Todas las encarnaciones de la oscilación armónica que se me ocurren en física se reducen a entender cómo una de estas dos cosas matemáticas es relevante para un sistema físico concreto, ya sea en un sentido exacto o aproximado.

¿Por qué son importantes estos modelos matemáticos?

En resumen, la importancia tanto del oscilador armónico clásico como del cuántico proviene de su ubicuidad: están absolutamente en todas partes en la física. Podríamos dedicar una enorme cantidad de tiempo a tratar de entender por qué esto es así, pero creo que es más productivo simplemente ver la omnipresencia de estos modelos con algunos ejemplos. Me gustaría comentar que, aunque es cierto que el oscilador armónico es un modelo simple y elegante, creo que responder a tu pregunta diciendo que es importante porque de este hecho es una especie de pregunta. La simplicidad no es una condición suficiente para la utilidad, pero en este caso, tenemos la suerte de que al universo parece gustarle mucho este sistema.

¿Dónde se encuentra el oscilador armónico clásico?

(esta no es en absoluto una lista exhaustiva, y las sugerencias para añadir algo son más que bienvenidas)

1. Masa en un muelle de la Ley de Hooke (¡el clásico!). En este caso, la ecuación clásica del oscilador armónico describe el exacto ecuación de movimiento del sistema.
2. Muchas (pero no todas) las situaciones clásicas en las que una partícula se mueve cerca de un mínimo local de un potencial (como escribe Rob en su respuesta). En estos casos, la ecuación clásica del oscilador armónico describe la dinámica aproximada del sistema siempre que su movimiento no se desvíe apreciablemente del mínimo local del potencial.
3. Los sistemas clásicos de osciladores acoplados . En este caso, si los acoplamientos son lineales (como cuando un montón de masas están conectadas por resortes de la Ley de Hooke) se puede utilizar la magia del álgebra lineal (valores y vectores propios) para determinar los modos normales del sistema, cada uno de los cuales actúa como un único oscilador armónico clásico. Estos modos normales pueden utilizarse para resolver la dinámica general del sistema. Si los acoplamientos son no lineales, el oscilador armónico se convierte en una aproximación para pequeñas desviaciones del equilibrio.
4. Análisis de Fourier y EDP . Recordemos que las series de Fourier, que representan funciones periódicas en toda la recta real, o funciones en un intervalo finito, y las transformadas de Fourier se construyen utilizando senos y cosenos, y el conjunto $\{\sin, \cos\}$ forma una base para el espacio de solución de la ecuación clásica del oscilador armónico. En este sentido, cada vez que se utiliza el análisis de Fourier para el procesamiento de señales o para resolver una EDP, se está utilizando el oscilador armónico clásico con esteroides muy potentes.
5. Electrodinámica clásica . En realidad, esto entra en el último punto, ya que las ondas electromagnéticas provienen de la resolución de las ecuaciones de Maxwell, que en ciertos casos da lugar a la ecuación de onda que puede resolverse mediante el análisis de Fourier.

¿Dónde se encuentra el oscilador armónico cuántico?

1. Tome cualquiera de los sistemas físicos anteriores, considere un versión mecánica cuántica de ese sistema, y el sistema resultante se regirá por el oscilador armónico cuántico. Por ejemplo, imaginemos un pequeño sistema en el que una partícula está atrapada en un potencial cuadrático. Si el sistema es lo suficientemente pequeño, los efectos cuánticos dominarán, y el oscilador armónico cuántico será necesario para describir con precisión su dinámica.
2. Vibraciones de la red y fonones . (Un ejemplo de lo que afirmo en el punto 1 cuando se aplica a grandes sistemas de osciladores acoplados.
3. Campos cuánticos. Este es quizás el punto más fundamental e importante de cualquiera de estas dos listas. Resulta que el modelo físico más fundamental que tenemos actualmente, es decir, el Modelo Estándar de la física de partículas, se basa en última instancia en la cuantificación de los campos clásicos (como los campos electromagnéticos) y en la comprensión de que las partículas básicamente sólo surgen de las excitaciones de estos campos, y estas excitaciones se modelan matemáticamente como un sistema infinito de osciladores armónicos cuánticos acoplados.

Answer 3

El oscilador armónico es común

Aparece en muchos ejemplos cotidianos: Los péndulos, los muelles, la electrónica (como el Circuito RLC ), ondas estacionarias en una cuerda, etc. Es trivial establecer demostraciones de estos fenómenos, y los vemos constantemente.

El oscilador armónico es intuitivo

Podemos imagen las fuerzas en sistemas como un péndulo o una cuerda pulsada. Esto facilita su estudio en el aula. En cambio, hay muchos ejemplos "cotidianos" que son no intuitivo, como el infame efecto Bernoulli elevación un disco soplando aire hacia abajo . Estas paradojas son grandes rompecabezas, pero confundirían a (la mayoría de) los estudiantes principiantes.

El oscilador armónico es matemáticamente sencillo

Las matemáticas forman parte de la física. Al estudiar el movimiento armónico simple, los alumnos pueden utilizar inmediatamente las fórmulas que describen su movimiento. Estas fórmulas son comprensibles: por ejemplo, la ecuación de la frecuencia muestra el resultado intuitivo de que el aumento de la rigidez del muelle incrementa la frecuencia. En un nivel más avanzado, los alumnos pueden derivar las ecuaciones a partir de los primeros principios. La capacidad de resolver un problema de la vida real con tanta facilidad es una clara demostración de cómo la física utiliza las matemáticas.

La ingeniería también se beneficia enormemente. Muchos sistemas, incluso los más complejos, son lineales. Los sistemas lineales complicados actúan como múltiples osciladores armónicos. Por ejemplo, un cadena de clavijas vibra naturalmente en frecuencias que son múltiplos de su fundamental. Cualquier movimiento de la cuerda puede representarse como una suma de las vibraciones de cada componente, con cada componente independiente de otros componentes. Este superposición nos permite modelar cosas como puntear la cuerda. Placas circulares Las cámaras de guitarra, los rascacielos, las antenas de radio e incluso las moléculas son más complejas. Sin embargo, la superposición y otras herramientas de la teoría de los sistemas lineales todavía nos permiten tomar masiva atajos en el cómputo y confiar en los resultados. Estos métodos de cálculo también son buenas herramientas de enseñanza para temas de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales.

Dado que el oscilador armónico es un sistema familiar que está tan estrechamente relacionado con temas fundamentales de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería, es uno de los sistemas más ampliamente estudiados y comprendidos.

Answer 4

Las otras respuestas ya cubren muchos de los aspectos más importantes. Una interesante aplicación está en averiguar cómo la forma del oscilador armónico está conectada con la distribución gaussiana (normal), otra construcción matemática utilizada a menudo. Podría haber sugerido esto a la lista de joshphysics, pero como requiere algunos detalles para apreciarlo, decidí hacerlo una respuesta independiente (pero realmente es más un comentario extendido).

Tome $N$ variables aleatorias independientes $X_i$ , cada uno con una varianza $\sigma$ y, para simplificar, significa $0$ . Ahora la función característica para una distribución de probabilidad arbitraria $P_X$ es $G_X(k) = \langle e^{ikX} \rangle = \int e^{ikx}P_X(x) \mathrm{d}x$ . Escribiendo la exponencial en series de Taylor (donde cortamos todos los términos más allá de la cuadrática) $e^{ikx} \approx 1 + ixk - \frac{1}{2}x^2k^2$ tenemos $G_X(k) \approx 1 - \frac{1}{2}\sigma^2k^2$ .

Ahora define una nueva variable aleatoria $Z = \frac{\sum_{i=1}^N X_i}{\sqrt{N}}$ Así que $G_Z(k) = \left(G_X\left(\frac{k}{\sqrt{N}}\right)\right)^N \approx \left(1 - \frac{\sigma^2k^2}{2N}\right)^N$ y como $N\to\infty$ (todos los términos de orden superior en la suma caen) tenemos por definición, $G_Z(k) = e^{-\frac{1}{2}\sigma^2k^2}$ lo que da la distribución gaussiana $$P_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}$$

Se trata de una derivación simplista del teorema del límite central, que tiene una enorme importancia en varias áreas de la ciencia y probablemente se encuentra entre los resultados más fundamentales de la estadística.

Obsérvese que en la derivación se han eliminado todos los términos de orden superior (como $N\to\infty$ ), y el único que quedaba era el término cuadrático, armónico. Esto ocurre con regularidad en aplicaciones de diferentes ámbitos, aunque no puedo nombrar una razón fundamental por la que deba ser así.

Answer 5

Creo que la respuesta de Rob es bastante inclusiva y verdadera. Sólo quiero añadir algo. Si expandes el potencial mediante series de Taylor, la segunda derivada busca un vector tangencial en el punto $x_0$ que es el punto mínimo de la curva, por lo que es cero. Entonces, tenemos un potencial de la forma $\frac{1}{2}k(x-x_0)^2$ que hemos desplazado el origen de x a la ubicación de $x_0$ . Así que aproximaríamos la curva del potencial a una parábola. Eso hace que el oscilador armónico sea importante para la física.