Que $\epsilon{n}$ sea una secuencia de reales positivos con $\lim{n \rightarrow \infty} \epsilon{n}=0$. ¿Luego encontrar $\lim{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln(\frac{k}{n} + \epsilon_n)$ mi duda aquí es que, puedo introducir el límite de la suma? Entonces se puede fácilmente encontrar mediante la conversión de la suma en una integral.
Respuesta
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Paramanand Singh
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Mediante el teorema del valor medio podemos ver eso x\ $$\log\left(\frac{k} {n} +\epsilon{n} \right) = \log\frac{k} {n} +\frac{n} {k} \epsilon{n} +o(\epsilon{n}) $$ and hence the sum in question is equal to $$\frac{1}{n}\sum{k=1}^{n}\log\frac{k}{n}+\epsilon{n}\sum{k=1}^{n}\frac{1}{k}+o(\epsilon{n})$$ First sum tends to $\int{0}^{1}\log, dx=-1$, second term tends to $\lim{n\to\infty} \epsilon{n} \log n$ so that the desired limit requires more information on the limiting behavior of $\epsilon{n} $. For example if $ \epsilon{n} = 1/n$ then the desired limit is $-1$ and if $\epsilon_{n} = 1/\log n $ then the desired limit is $0$.
