Asignar un valor finito a un integral divergente

Question

Alguien me puede ayudar a regularizar el siguiente divergentes integral?

$$ \int_0^{1/2}\, \frac{d x}{x^{3/2} (1-x)^{3/2}} $$

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Chicos, muchas gracias por sus respuestas. Por lo tanto, si he entendido el procedimiento, la regularización resultado de este divergentes integral (vamos a hacer un caso trivial) $$ \int_0^\infty{dx} = \lim_{\Lambda\rightarrow \infty} \int_0^\Lambda{dx}=\lim_{\Lambda\rightarrow \infty}\Lambda - 0 \equiv 0 $$ es cero porque uno simplemente eliminar la divergencia y el juego es más, ¿verdad?

Bueno, me gustaría tener tu opinión acerca de este otro regularización he pensado $$ \int_0^\infty{dx} = \lim_{m\rightarrow\infty} \int_0^m{dx} = \lim_{m\rightarrow\infty} 1+\sum_{n=1}^{m-1} 1 = \lim_{m\rightarrow\infty} 1+\sum_{n=1}^{m-1} {1\over n^0} = 1+\zeta(0)=1-{1\over 2}={1\over 2} $$ donde he utilizado el conocido valor de $\zeta(0)=-1/2$ de la de Riemann $\zeta$-función. Me pregunto cuál puede ser la interpretación física de un (ingenuo, lo admito) regularización...pero tal vez no hay ninguno y yo soy sólo un loco físico :)

Answer 1

He aquí una manera bastante natural para asignar la integral de un valor.

Introducir un corte, $$\begin{eqnarray*} I_\epsilon &=& \int_\epsilon^{1/2} \frac{dx}{x^{3/2}(1-x)^{3/2}} \\ &=& \frac{2(1-2\epsilon)}{\sqrt{\epsilon(1-\epsilon)}} \\ &=& \frac{2}{\sqrt{\epsilon}}-3\sqrt{\epsilon} + O(\epsilon^{3/2}). \end{eqnarray*}$$ El más simple de regularización es sólo para eliminar la divergencia, en cuyo caso nos encontramos con la regularización de la integral es cero: $$I_{\mathrm{reg}} = \lim_{\epsilon\to0}\left(I_\epsilon-\frac{2}{\sqrt{\epsilon}}\right) = 0.$$

Otro enfoque implica la continuación analítica de la función beta incompleta, con el mismo resultado.

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Addendum: Considere la posibilidad de la representación integral de la función beta incompleta, $$B_z(a,b) = \int_0^z dx\, x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$ Esta representación requiere $\mathrm{Re}(a) > 0$. (Suponemos $0<z<1$.) En términos de la función hipergeométrica $$B_z(a,b) = \frac{z^a}{a} {}_2 F_1(a,1-b;a+1;z).$$ Nos tomamos de la mano derecha para definir la integral, donde tenga sentido hacerlo. Por lo tanto, la integral es $$\begin{eqnarray*} B_{1/2}\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{2} \ {}_2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right) \\ &=& 0. \end{eqnarray*}$$ La última igualdad no es trivial. De hecho $${}_2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2};\frac{1}{2};z\right) = \frac{1-2z}{\sqrt{1-z}}.$$