¿Qué significa para el anillo coordinado de una variedad afín a clasificar?

Question

Mi pregunta es relativamente simple, suponga que $X$ es una variedad afín de tal forma que su anillo de coordenadas $A:=\Bbbk[X]:=H^0(\mathcal O_X,X)$ $\Lambda$- graduado para algunos monoid $\Lambda$.

Ahora si $\Lambda=(\mathbb Z,+)$ y la clasificación es, en cierto sentido, "compatible" con el que en el polinomio anillo después de incrustar $X$ afín en el espacio, entonces esto significaría que el $X$ es un cono, es decir, cortar por polinomios homogéneos. Más precisamente, suponga $\phi:\Bbbk[X_0,\ldots,X_n]\twoheadrightarrow A$ induce un cerrado de inmersión $X\hookrightarrow\mathbb A^n$. Entonces si $\phi$ es una de morfismos de álgebras graduadas, sabemos que $\ker(\phi)=I(X)$ es generado por los polinomios homogéneos. Sin embargo, me gustaría ser capaz de ver este tipo de cosas de la clasificación en $A$ en una manera más intrínseca, es decir, sin hablar de la compatibilidad de algunos específicos de integración en espacio afín.

Hay un resultado que hace que esta vaga noción de compatibilidad exacta? ¿Qué otro tipo de información geométrica se puede obtener a partir de las propiedades de una clasificación en $A$? Yo estaría muy agradecido por cualquier tipo de información sobre este, sin duda, muy amplio de la materia.

Answer 1

(Pequeñeces: "es calificada" es un leve error de tipo. Una clasificación es una estructura, no una propiedad.)

Una interpretación geométrica es la siguiente. Supongamos $A$ es un abelian grupo que actúa en $X$. A continuación,$k[X]$, naturalmente, se convierte en una representación lineal de $A$. Si esta acción se divide en una suma directa de representaciones tridimensionales, a continuación, $k[X]$ natural se convierte calificados por el grupo de caracteres $A \to k^{\times}$. En la anterior también podemos interiorizar $A$ a algebraica de grupo y, a continuación, hablar de la algebraicas caracteres. Por ejemplo, si $A = k^{\times}$, la algebraica de caracteres $k^{\times} \to k^{\times}$ son precisamente el poder de los mapas de $x \mapsto x^n$, y si $k^{\times}$ actúa en $X$ $k[X]$ natural adquiere un $\mathbb{Z}$-calificación.